yz

y2z3
fy…………………………………4分z
三．证明题
1．设fu是连续函数，证明：
1
fxyd
fudu，其中
D
1
Dxyxy1。
证：做变换
x

x

yy

uv
……………………………………………………………………3分
xy1，Duv1u11v1…………………………2分uv2
于是有
fxyd1
11
dv
fudu
1
fudu。……………………3分
d
211
1
2．设uxy在x2y21上有二阶连续偏导数，在x2y21内满足2u2uu，x2y2
且在x2y21上，uxy0，证明：当x2y21时，uxy0。（提示：可
用反证法证明）
证明：反证法：假设存在点x0y0满足x02y021且ux0y00。由条件：在x2y21上，uxy0可知，在x2y21上的连续函数uxy在
区域x2y21的最小值点x1y1一定发生在区域x2y21的内部，因此
2u
x1
y1
一定是极小值点，矩阵

x22u
xy
2u
xy

2u
正定或半正定，这与
y2x1y1
矛盾。假设不成立，即当x2y21时，uxy0。
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