2008级多元微积分期中考题
系名班级姓名
A
20094学号
一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）1．设x2
a
0



cos
xx，则a2＝
0x
1212

2．设fx
x22x
x1

，将
fx展开为周期T2的正弦级数Sx，则
5S2
3．设二元函数fxy在全平面上可微，ab为平面上给定的一点，
22
dfab3dxdy，则极限lim
x0
faxbxfabx

4．设可微函数fxyz在x0y0z0点的梯度为123，该函数在x0y0z0点的微分
dfx0y0z0
5．极限

2
si
xyxy02xlim
2
6函数fxyxxyy在点11处函数值增长最快的方向是7．设zfxy，其中f连续可微，则

yx
zx
xx8．fxyuv由uecosyvesi
y定义，则Jfxy

9．曲线
3x22y22z10在112处的切线方程为222xyz4y2z20

10．二元函数fxyxsi
xy在00点的2阶带有Pea
o余项的Taylor展开式为11．函数x2xyy
22
在约束条件xy1下的最大值为
22

12．设曲面zxy在某一点P0x0y0z0处的法线垂直于平面x3yz90，则P0点的坐标x0y0z0
222

13．曲面zx3y在点211的切平面方程为
12
fy2
14．设Fy

y
si
y2xdx，则Fyx

15．函数fxy
1exy当xy00时极限是否存在？x2y2

（填“存在”或“不存在”）二．计算题（每题10分，共4题）（请写出详细计算过程和必要的根据！）1．将函数fx1x20x展开成2为周期的余弦级数，并求
1
1的和
2
1

2．设函数zzxy由方程xyfxyz确定，其中f有二阶连续偏导数，
求
zx
2zxy
3．已知曲线C

x2y22z20xy3z5
求曲线C上距离XOY平面最远和最近的点的坐标
4计算积分

0
arcta
bxarcta
axdx其中ba0x
三．证明题（请写出详细的证明过程！）1．8分设fxy
x2y2xy，其中xy在点00处连续，证明fxy在
点00处可微的充分必要条件是0002．7分设函数uxy在区域Dxy2x3y4上连续，在区域D的内部有二阶
22


连续偏导数且满足r