多元微积分答案
（请将答案直接填写在横线上！）一．填空题（每空3分，共15空）填空题
13，20，3
zx，yz
7
4
11xyf1′dxf2′2f1′dy2f2′dz，zyyz
810，
5
1，3
612，
1ρcosρsi
2
ρsi
，cos
2
9
F1′，F1′F2′F3′
10xxyoxy，
11
x3y2z8，3xy2z0
12x2y3z6，
π2u22vx2242π13y2u22v24zv
22
14
∫
cosy
si
y
x2exydxeycosysi
yeysi
2
y
cosy，
152fx
二．计算题（每题10分，共40分）计算题lxx∈02，将fx在0l上展开为正弦Fourier级数。1设fxllxx∈l2
解：把fx作奇延拓，于是
b

π2l∫0fxsi
lxdxl
l
……………………4分
22
π2l
π4l
π∫0xsi
lxdxl∫2llxsi
lxdx
2π2si
2l4l
………4分
所以，b2k0，b2k1
1k2，k01故得f的正弦展开式为π2k12
……………………2分
fx
1k2k1si
πx2∑2lπk02k14l
∞
2
x3y3xy≠00。回答以下问题，并说明理由。设函数fxyx2y20xy00
f（I）函数fxy在点00处是否连续？（II）函数fxy在点00处的两个一阶偏导数是否存在，若存在，求这两个偏导数。（III）函数fxy在点00处是否可微？可微时，求出它的微分。解：（I）函数fxy在点00处连续。（II）两个偏导数存在，且fx001，fy001…………………………3分…………………………4分
（III）函数fxy在点00处不可微。理由如下：若可微，则
x3y3xyxyxyoρ，其中ρ2x2y2，即oρ，22xyx2y2
亦即limxy→00
xyxy0。显然该极限不存在。矛盾。x2y232
……………3分
3
设函数zzxy为由方程x3y3z3xyz确定的二阶可微函数，求
2z。xy
解：
z13x2x3z21
…………………………………3分
z13y2y3z21
2z13x213y26z3xy3z21
…………………………………3分





…………………………………4分
4
在椭球曲面xy
22
z21上寻找一点，位于第一卦限（即x0y0z0），4
使得该点处的切平面与三个坐标r