一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）
1
l
x1x2
dx

答案：l
xl
1xl
xC1x
2
1
dxcos2
x

。
答案：1arcta
1ta
xC
2
2
arcta
x
31
dxx2
解：arcta
xdxarcta
xdxl
2
1
x2
x11x1x242
4xfxdxarcta
xC，则
1dxfx
。
答案：x2x4C24
5
22
11
xcossi
2x
xdx

答案：2
6dx2et2dt
dxx

。。
答案：2xex4ex2
7设fx为连续函数，f00，Fx
x
t
2
f
tdt
，当
x

0
时，
Fx
与
xk
是同阶
0
无穷小，则k
。
答案：3
8将x32y21绕y轴转一圈，则所得图形围成的体积为
。
答案：62

9设m0，且广义积分
dx
收敛，则m的范围为
0xxm
答案：m1
f10．幂级数

1
2

x2
5

的收敛域为
。
答案：55
11
级数

1

si

1

1

p
条件收敛，则参数p的范围为
答案：1p0
12在x0
0点，函数
xet2dt的幂级数展开为
0

答案：1

x2
1
，x

0

2
1
13yexexy，的通解是
。
答案：
l

1
e
y
e
y
ex
C
14xdyx2ydx0满足y10的解为
答案：yxx2
15
初值问题
y2xy2
0
的解为
y01y00
答案：y1
。
。。
二．计算题（每题10分，共40分）
1．求p的范围，使得

si

1
x
dx收敛l
px
解：

si
1
x
dxl
px

2
si
1
x
dxl
px

si
2
x
dxl
px
，
x1附近，si
x
1l
px


1

1x


x
11
p
，所以仅当2p0时
2si
1x
dx收敛l
px
………………………………………………5分
xsi
x
1l
px

x
l
p
x
对任意的
p
成立所以只需要考虑广义积分

2
x
l

p
dxx
f的收敛性。因为
a2
dxxl
p
x

l
al
2
duup
所以仅当
p
1时广义积分
2
x
l
p
dxx
收敛
………………………………………………5分
最终我们得到仅当p12时

si

1
x
dx收敛。l
px
2．计算摆线xtsi
ty1costt02，绕x轴旋转体的体积和表面积。
解：旋转体的体积
V2y2dx21cost3dt213cost3cos2tcos3tdt52
0
0
0
………………………………………………5分
旋转体的表面积
S2
2
y
x2y2dt2
2
1cost
22costdt8
2si
3tdt64
0
0
0
2
3
………………………………………………5分
3．求级数

1
1
22

的和。
解：记Sx

2x

1
，则1
22

1

S1，2
S
2x
1
x
1
xSdx
x
……………………………………3分
0x

1
1xSdx
x
1
x0x

1
x1xSdxdxx
x
0x0x

1
1x
……………3分
故
1x
xS0x
dx

1
1x2

x
0
Sx
dx

x1x2

Sxx

1x1xr