……………………………3
分
根据含参变量的广义积分求导定理，对任意t0，
It

－etx2
dx

－1
………………………………2分
2t
0
因此，Itct，t0。于是，IIaIbba。……3分
不证明“一致收敛”扣3分
解法二（积分号下求积分）：利用关系eax2
ebx2
b
etx2dt，以及连续函数etx2的广义
x2
a

积分etx2dx在tab上一致收敛性，……………………………………………3分
0
由含参变量的广义积分求积分定理，可以得到
I

eax2
0
ebx2x2
dx

b0a
e
tx
2
dt

dx
b
＝


e
tx
2
dx
dt

a0

2页
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b1

dt
b
a。…………………………………………………5分
a2t
4．求二重积分
D

x2a2

y2b2

dxdy
，其中
D

xyx2y2
R
。
解：
用极坐标系，
x

y

rcosrsi

…………………用到极坐标……………………2
分
D

x2a2

y2b2

d
x
d
y
2
d
0
R0

c
oa
2s
2

s
i
2b2

r
2r
d
r…………………3
分
R4
4
21cos2
0
2a2
1cos22b2
d

4
R
4

1a2

1b2
…………3分
5．设
f
x

x0
0x1，将fx展为周期为2的Fourier级数，并由此证明
1x2
1
132

152

12
12

28
。
解：
a0

2fxdx1
0
2
a


10
xcos
xdx

1
2
1
2
b


1
xsi

xdx

1
1
……………………………………3
分
0


0x
0x11x2
12
x1
…………………………………2分
令x011112。………………3分
3252
2
12
8
6．设函数zzxy为由方程xzfy确定的二阶可微函数，其中f具有连续二阶导数。z
求
z
x
与
z
xx
。
解：xzfy，对x求偏导，z
3页
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zx


f

yz
yz
f

yz

1
…………………………………………………4
分
2zx2


f

yz


yz
3
f
r