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一.填空题1.2
2005级多元微积分期中考题
2.2fxab
20064答案A
3.3i2j
13
4.f1xyxy1ydxxdyf2xyxy1y1dxxy2dy
或写成
dzyf1
f2y
dx
xf1
xy2
f2dy
5.
d
uv
exex
cossi
yy
eex
xsi
ycosy
dxdy
7.z3,x1y1z30
8
4
2
8
9.1
x
12
x
excosyyexsi
y
exsi
yxexcosyy
a
2a
10.d4fd
0
0
a
d
4arccosa
fd
6.21ez
8.x2y3z12
11.0
12.t3cost32cost2
t
t
二.计算题
1.设
z
xf
x
xy
,其中
f
有二阶连续偏导数,求
2zx2
2z。xy
解:
zx
f
x
xy
xf1x
xy
xy
f
2
x
xy
…………………………2分
2
f1
2y
f2
xf11
2xy
f12
xy2
f22,………………………3分
2z2xxyy2
f2
x2y2
f12
x2y3
f22…………………………………3分
2.考查函数fxyex2y52xy的极值。解:由fxxy2xex2y52xy2ex2y0
1页
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fyxyex2y42xy0…………………………………………2分
得
f
x
y
的驻点满足
5x
2x2y
xy12x4
0
,为
x1y2
………………2
分
fxxxyex2y20x28x34x2y12x2y10又fxyxyex2y4x28x2xy2
fyyxyex2y2xy3
fxx122e3,fxy122e3,fyy12e3…………………2分
所以fxy没有极值。………………………………………………………2分
3.利用已知积分ex2dx
0
,计算积分2
I
eax2
0
ebx2x2
dx,
其中a
0,b
0。
解法一(积分号下求导):令Itetx2dx,t0。
0x2
因为
etx2x2
和
t
etx2x2
etx2
为连续函数,且任意t0,存在正常数使
广义积分
0
t
etx2x2
dx一致收敛,……………………r