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一．填空题1．2
2005级多元微积分期中考题
2．2fxab
20064答案A
3．3i2j
13
4．f1xyxy1ydxxdyf2xyxy1y1dxxy2dy
或写成
dzyf1
f2y
dx


xf1

xy2
f2dy
5．
d

uv



exex
cossi

yy
eex
xsi
ycosy

dxdy

7．z3，x1y1z30
8
4
2
8
9．1

x

12
x
excosyyexsi
y
exsi
yxexcosyy
a

2a

10．d4fd
0
0
a
d
4arccosa
fd

6．21ez
8．x2y3z12
11．0
12．t3cost32cost2
t
t
二．计算题
1．设
z

xf
x
xy
，其中
f
有二阶连续偏导数，求
2zx2

2z。xy
解：
zx
f
x
xy


xf1x
xy


xy
f
2
x
xy

…………………………2分

2
f1
2y
f2

xf11

2xy
f12
xy2
f22，………………………3分
2z2xxyy2
f2

x2y2
f12

x2y3
f22…………………………………3分
2．考查函数fxyex2y52xy的极值。解：由fxxy2xex2y52xy2ex2y0
1页
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fyxyex2y42xy0…………………………………………2分
得
f
x
y
的驻点满足
5x


2x2y
xy12x4
0
，为

x1y2
………………2
分
fxxxyex2y20x28x34x2y12x2y10又fxyxyex2y4x28x2xy2
fyyxyex2y2xy3
fxx122e3，fxy122e3，fyy12e3…………………2分
所以fxy没有极值。………………………………………………………2分

3．利用已知积分ex2dx
0
，计算积分2
I

eax2
0
ebx2x2
dx，
其中a

0，b

0。
解法一（积分号下求导）：令Itetx2dx，t0。
0x2
因为
etx2x2
和
t
etx2x2


etx2
为连续函数，且任意t0，存在正常数使

广义积分
0
t
etx2x2
dx一致收敛，……………………r