值和数列

q

11
的最小值
（
2，3，，m1）．
第5页（共10页）
f①当
2




m时，
q

2

q
12
1


q

q
q
1

1

2



q
q
1q
2，

1
1
当1q2m时，有q
qm2，从而
q
q
1q
20．
因此，当
2




m
1
时，数列

q
12
1

单调递增，
故数列

q
12
1

的最大值为
qmm
2
．
②设fx2x1x，当x0时，fxl
21xl
22x0，
所以fx单调递减，从而fxf01．
q

当2
m时，

q
1

q

1


1
2

1
1



f

1


1，

1
因此，当
2




m
1
时，数列

q

11
单调递减，
故数列

q

11
的最小值为
qmm
．
因此，
d
的取值范围为

b1
qm2

b1qm

．
m
m
4．（2018浙江）已知等比数列a
的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中项．数列b
满足b11，数列（b
1b
）a
的前
项和为2
2
．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列b
的通项公式．
答案：（1）
q

2；（2）b

15
4
32
2

解答：（1）由题可得a3a4a528，2a42a3a5，联立两式可得a48
所以
a3

a4

a5

81q
1
q

28
，可得
q

2
（另一根
12
1，舍去）
（2）由题可得
2时，b
1b
a
2
2
2
12
14
1，当
1时，b2b1a1213也满足上式，所以b
1b
a
4
1，
N
第6页（共10页）
f而由（1）可得
a


82
4

2
1，所以b
1
b


4
1a


4
1，2
1
所以b
b1b2b1b3b2
3711b
b
1202122

4
52
2
，
错位相减得
b


b1

14

4
32
2
，
所以b

15
4
32
2

5．（2018天津文）设a
是等差数列，其前
项和为S
（
∈N）；b
是等比数列，公比大于0，其前
项和为T
（
∈N）．已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6．（Ⅰ）求S
和T
；（Ⅱ）若S
（T1T2…T
）a
4b
，求正整数
的值．
【答案】（1）
S



1
2
，T


2

1；（2）4．
【解析】（1）设等比数列b
的公比为q，由b11，b3b22，可得q2q20．
因为q0，可得q2，故b

2
1．所以，T

12
12
2

1．
设等差数列a
的公差为d．由b4a3a5，可得a13d4．由b5a42a6，
可得
3a1
13d
16
，从而
a1
1，
d
1，故
a



，所以，
S



1
2
．
212
（2）由（1），有T1T2T
21232
12
2
1
2，由
S
T1T2

T



a


4b

可得

1
2

2
1




2




2
1，
整理得
23
40，解得
1（舍），或
4．所以
的值为4．
6．（2018天津理）设a
是等比数列，公比大于0，其前
项和为S
N，b
是等差数列已知a11，a3a22，a4b3b5，a5b42br