2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题
一、填空题
1、若三位数
abc是一个平方数，并且其数字和abc也是一个平方数，则称
为
超级平方数，这种超级平方数的个数是．．
2、函数y8xx214xx248的最大值是
3、直线l过点M12，若它被两平行线4x3y10与4x3y60所截得的线
段长为2，则直线l的方程为．
4、
130si
10cos100
．
5、满足1x2x的实数x的取值范围是
．
6、若实数xyz0，且xyz303xyz50，则T5x4y2z的取值
范围是
．
7、在前一万个正整数构成的集合1210000中，被3除余2，并且被5除余3，
被7除余4的元素个数是．
8、如图，正四面体ABCD的各棱长皆为2，A1B1C1分别是棱DADBDC的中点，
C，并将两弧各分成五等分，A1B1B以D为圆心，1为半径，分别在面DABDBC内作弧11
分点顺次为A1P1Q1Q2Q3Q4C1，1P2P3P4B1以及B一只甲虫欲从点P1出发，沿四面体表面爬行至点Q4，则其爬行的最短距离为二、解答题．
29、正整数数列a
满足：a12a
1a
a
1；证
明：数列的任何两项皆互质．
1
f10、（25分）H为锐角三角形ABC的垂心，在线段CH上任取一点E，延长CH到
F，使HFCE，作FDBC，EGBH，其中DG为垂足，M是线段CF的中点，
O1O2分别为ABGBCH的外接圆圆心，O1O2的另一交点为N；
A
证明：1、ABDG四点共圆；
2、O1O2MN四点共圆；
B
F
GHNME
O1
D
C
O2
11、对于任意给定的无理数ab及实数r0，证明：圆周xaybr2上
22
至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）．
12、从集合M1236中删去
个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不
是2015的因数，求
的最小值．
2
f2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
一、填空题
1、若三位数
abc是一个平方数，并且其数字和abc也是一个平方数，则称
为
超级平方数，这种超级平方数的个数是答案：13个．．
解：可顺次列举出：100121144169196225324400441484529900961．
2、函数y8xx214xx248的最大值是
答案：23．解：y
．
x8xx68x8x

xx6

68x，xx6
其定义域为6x8，当x6时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为23．
3、直线l过点M1r