数fx＝lgsi
x是最小正周期为π的偶函数题型二函数的周期性及其应用12018抚顺模拟已知fx在R上是奇函数且满足fx＋4＝fx当x∈02时fx＝2x2则f7＝________答案－2解析f7＝f－1＝－f1＝－2
f12已知定义在R上的函数fx满足f2＝2－3且对任意的x都有fx＋2＝则f2020＝－fx________答案－2－311解析由fx＋2＝得fx＋4＝＝fx所以函数fx的周期为4所以f2020＝－fx－fx＋2111f4因为f2＋2＝所以f4＝－＝－＝－2－3故f2020＝－2－3－f2f22－332017山东已知fx是定义在R上的偶函数且fx＋4＝fx－2若当x∈－30时fx＝6
x
－
则f919＝________
答案6解析∵fx＋4＝fx－2∴fx＋2＋4＝fx＋2－2即fx＋6＝fx∴fx是周期为6的周期函数∴f919＝f153×6＋1＝f1又fx是定义在R上的偶函数∴f1＝f－1＝6即f919＝64设定义在R上的函数fx同时满足以下条件：①fx＋f－x＝0②fx＝fx＋2③当0≤x113＋f2＋f5＝________时fx＝2x－1则f＋f1＋f222答案2－1
解析依题意知：函数fx为奇函数且周期为2则f1＋f－1＝0f－1＝f1即f1＝0135∴f2＋f1＋f2＋f2＋f2111＝f2＋0＋f－2＋f0＋f2111＝f2－f2＋f0＋f2102＝f2＋f0＝2－1＋2－1＝2－1思维升华利用函数的周期性可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题转化到已知区间上进而解决问题
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f题型三函数性质的综合应用
命题点1求函数值或函数解析式例21设fx是定义在R上周期为4的奇函数若在区间－20∪02上fx＝
ax＋b，－2≤x0，ax－1，0x≤2，
则f2021＝________1答案－2解析设0x≤2则－2≤－x0f－x＝－ax＋b因为fx是定义在R上周期为4的奇函数所以f－x＝－fx＝－ax＋1＝－ax＋b所以b＝11而f－2＝f－2＋4＝f2所以－2a＋b＝2a－1解得a＝211所以f2021＝f1＝×1－1＝－222已知fx为偶函数当x≤0时fx＝e答案
ex1－x，x≤0，x－1e＋x，x0
－－－x－1
－x则fx＝________
解析∵当x0时－x0∴fx＝f－x＝ex1＋x
－
x1－x，x≤0，e∴fx＝x－1e＋x，x0
－－
命题点2求参数问题例31若函数fx＝xl
x＋a＋x2为偶函数则a＝__________答案1解析∵f－x＝fx∴－xl
a＋x2－x＝xl
x＋a＋x2∴l
a＋x22－x2＝r