、解答题（每小题9分，共18分）解答题17．设是第一象限内连接点A01B10的一段连续曲线，Mxy
为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点若梯形
x31OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，试求函数63
的表达式
18．求通过点
的直线
，使得
值为最小
五、应用题（8分）
19．求由抛物线y22x与直线x
1所围成的图形绕直线y1旋转一周所2
成旋转体的体积六、证明题（8分）
20．设函数fx在ab上连续，在ab内可导，其中a0且fa0，
试证明：在ab内必有一点ξ，使fξ
bξf′ξa
高等数学（一）－1
A卷第二页（共两页）
f二○○九二○一○第一学期期末考试高等数学（一）－1试卷A参考答案
一、11二、6B257D34π8D4
15解原式2
∫
3
0
l
1xd1x
30
21xl
1x32∫0
x
1xdl
1x4l
44
dp2xdx，p1x2
1πρgr2h22
10A
5yC1C2xe
9D
16解令y′p，代入方程并分离变量得
2
三、11解
原式
两端积分得py′C11x，由y′x03得C13
即y′31x2，解得yx33xC2，由yx01得C21
又
故所求特解为yx33x1
17解根据题意，有
1xx311fx∫ftdtx263
两边关于x求导，得所以原极限当x≠0时，得12解
1dxx1
1111fxxf′xfxx2222
f′x
1x21fxxx
此为一阶线性非齐次微分方程，其通解为13解：方程两端对x求导得e
y
dydycosxcosx0，即ydxdxe
fxe
∫
x21∫xdxx21l
xl
x∫edxCe∫edxCxx
x1Cx
2
14解设
x
x21∫x2dxC
原式
当x0时，f01由于x1时，f10故有2C0，从而C2所以
fxx212xx12
18解设
高等数学（一）－1A卷第三页（共两页）
，则
f则Fk
∫
2
0
x2fx2dx∫x42x2fxf2xdx
0
2
由F′k0可得
即方程为
又F′′k0则当
时
Fk为最小，此时
19解体积元素dv2πy1故v
12
12ydy，2
∫
1142πy1y2dyπ1223
1
20证令Fxbxafx，此函数显然在ab上连续，在ab内可导，
且FaFb0。由罗尔定理知：在ab内必有一点ξ，使F′ξ0即
bξaf′ξabξa1fξ0，
故得
fξ
bξf′ξa
高等数学（一）－1
A卷第四页（共两页）
fr