武汉大学20092010学年上学期期末考试试卷《微积分（上）》解答（总学时216）
一、填空题：1、2004dx；2、2e
3
3、
111
2×
；4、；5、。2e1x
1
二、选择题：1、D；2、B；3、D；4、A；5、D。
x2x≤0三、讨论函数fxx的单调性，并求其单调区间和极值。x0xe解：函数的定义为∞∞，x0为函数的分段点，x0时，f′x2x；x0且当当xx时，f′x1xe；当x0时，f′0lim2x0f′0lim1xe1
故f′0不存在，令f′x0，得x1，点x0x1将∞∞分成三部份：
x→0x→0
∞0011∞在各区间内的符号如下表所示：
x
f′xfx
∞00
0
010
1
e1
极大值
1∞0
0
极小值
由上表可见，函数在∞0和1∞内是单调减少区间，在01内是单调增加区间，在
x0处函数取得极小值f00；在x1处函数取得极大值f1e1。
1xx1xx0在x0处的连续。四、当a为何值时，函数fxeeax≤0aa解：由f0e，limfxef0，故fx在x0处左连续，
1
11l
1xxl
1xx1xx2111111而liml
ylim1xlim，故limye2f0ea2x→0x→0x→02x2x→01x211所以a，故当a时fx在x0处连续。22
x→0
1
又记y1xex，则l
y
1x
五、计算下列各题：
2cosx2si
xl
2cos22xπ2πsi
dyxπcos22l
2dx2dx2cos2π222si
xxcos2xsi
xxcosxsi
xxcosx2、解：由：，2x2si
2xsi
xxsi
xsi
xxcosxx1cosx→2（x→0）。而si
xsi
x
1、解y′
1
flim
si
xxcosxxsi
xlimlim2x→0x→02xsi
xx2cosxx→0xsi
x2
11，x3cosxsi
x
si
2xx2cos2x2故：limx→0x2si
2x3dydydx3、解etey0，ety，et1t，dtdtdtdydydt1ydxdxe1tdt将t0代入方程etey2，得y
dydx
t0
t0
0

1e1t
y
t0
1，
ddydydtdxdxdx2dtdytyt0et01，dtdy11t2dydtt0t00dx2ety1t3
2
ey
dy1t1dtdy11t2y2e1tdt，tyet1te1t3
21x2cosx4xsi
xf′021x22fxfxl
1l
1si
xAsi
xAα，其中limα05、解因limx→0x→0ax1ax1fxxxl
a又a1e1xl
a（当x→0时r