1【2018浙江21】如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线Cy24x上存在不同的两点AB满足PAPB的中点均在C上。
（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（2）若P是半椭圆x2
y21x0上的动点，求PAB面积的取值范围。4
14
解析：（1）设Px0y0Ay12y1By22y2
14
AP中点满足：
y0y1242
x022
y124
y224
BP中点满足：BP
y0y2242
x022
所以y1y2是方程
y0y242
x022
y24即y22yy8xy20的两个根，所以000
y1y2y0，故PM垂直于y轴。2
（2）由（1）可知y1y22y0y1y28x0y02
f所以PM
123y1y22x0y023x0y1y222y024x084
31322PMy1y2y04x0224
因此，SPAB
y021x00，所以y024x04x024x0445因为x04
2
因此，PAB面积的取值范围是62
15104
1距离型问题
x2y21交于AB两点，线段AB2【2018全国3理20】已知斜率为k的直线l与椭圆C43
的中点为M1mm0
（1）证明：k
1；2
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点且FPFAFB0，证明：FPFAFB为等差数列，并求出该数列的公差。
解析：（1）由中点弦公式kkOM
b23，解得k24ma
f又因为点M在椭圆内，故0m
31，故k22
（2）由题意知FAFB2FMFP2FM，故P12m
因为点P在椭圆上，代入可得m
33k1，即FP42
根据第二定义可知，FA2
11x1FB2x222
1FAFB4x1x22
x2y2111437x214x0x1x22x1x2联立428yx74
即FAFB4
1x1x232
故满足2FPFAFB，所以FPFAFB为等差数列设其公差为d，因为AB的位置不确定，则有
112dFAFBx1x2x1x224x1x222
代入得2d
321321d1428
3【2018全国3文20】已知斜率为k的直线l与椭圆C的中点为M1mm0
x2y21交于AB两点，线段AB43
（1）证明：k
1；2
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点且FPFAFB0，证明2FPFAFB。
f解析：（1）设Ax1y1Bx2y2，则
x12y12x2y2yy1221，因为k214343x2x1
两式相减可得：
x1x2y1y2k043
又因为
x1xr