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1【2018浙江21】如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线Cy24x上存在不同的两点AB满足PAPB的中点均在C上。
（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（2）若P是半椭圆x2y21x0上的动点，求PAB面积的取值范围。4
解析：（1）设
Px0
y0
A14
y12
y1
B
14
y22
y2
AP
中点满足：
y0
y12
x024
y124
2
2
BP中点满足：
BP
y0
y2
2
x024
y224
2
2
所以
y1
y2是方程
y02
y2
4
x02
2
y24
即
y2
2y0y
8x0
y02
0
的两
个根，所以
y1
2
y2
y0，故PM
垂直于
y轴。
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（2）由（1）可知y1y22y0y1y28x0y02
所以
PM
18
y12
y22
x0
34
y02
3x0
y1
y2
2
2y024x0
因此，SPAB
12
PM
y1
y2
324
y02
3
4x02
因为x02
y024
1x0
0，所以y02
4x0
4x02
4x0
445
因此，PAB面积的取值范围是6215104
1距离型问题
2【2018全国3理20】已知斜率为k的直线l与椭圆Cx2y21交于AB两点，43
线段AB的中点为M1mm0
（1）证明：k1；2
uuuruuuruuurr
uuuruuuruuur
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点且FPFAFB0，证明：FPFAFB为
等差数列，并求出该数列的公差。
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解析：（1）由中点弦公式kkOM
b2a2
，解得k
34m
又因为点M在椭圆内，故0m3，故k1
2
2
uuuruuuruuuuruuuruuuur（2）由题意知FAFB2FMFP2FM，故P12m
因为点
P
在椭圆上，代入可得
m
3
k
1，即
uuurFP
3
4
2
根据第二定义可知，
uuurFA
2
12
x1
uuurFB
2
12
x2
uuurFA
uuurFB
4
12
x1
x2
x2y2
联立
4
3
1
y
x
74
7x2
14x
14
0
x1
x2
2
x1x2
128
即
uuurFA
uuurFB
4
12
x1
x2
3
uuuruuuruuur
uuuruuuruuur
故满足2FPFAFB，所以FPFAFB为等差数列
设其公差为d，因为AB的位置不确定，则有
2d
uuurFA
uuurFB
12
x1
x2
12
x1x224x1x2
代入得2d321d321
14
28
3【2018全国3文20】已知斜率为k的直线l与椭圆Cx2y21交于AB两点，43
线段AB的中点为M1mm0
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（1）证明：k1；2uuuruuuruuurr
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点且FPFAFB0，证明uuuruuuruuur
2FPFAFB。
解析：（1）设Ax1
y1Bx2
y2，则
x124
y123
1
x224
y223
1，因为k
y2x2
y1x1
两式相减可得：x1x2y1y2k0
4
3
又因为
x1x22
1
y1y22
r
