线y
12x的另一个交点为点Q连接NPNQ求证∠PNM∠QNM412解1设点P的坐标为x0x0则4
1212122PMx0x012x012x01444
1212又因为点P到直线y1的距离为x01x0144
所以以点P为圆心PM为半径的圆与直线y1相切…………5分2如图分别过点PQ作直线y1的垂线垂足分别为
HR由1知PHPM同理可得QMQR
因为PHMNQR都垂直于直线y1所以PH‖MN‖
QR于是QMMPRNNHQRPHRNHN
第11A题答案图
所以
因此Rt△PHN∽Rt△QRN于是∠HNP∠RNQ从而∠PNM∠QNM…………15分112A已知ab都是正整数试问关于x的方程x2abxab0是2否有两个整数解如果有请把它们求出来如果没有请给出证明解不妨设a≤b且方程的两个整数根为x1x2x1≤x2则有
x1x2ab1x1x22ab
所以
11x1x2x1x2abab22
4x11x212a12b15
…………5分因为ab都是正整数所以x1x2均是正整数于是x11≥0x21≥02a1≥12b1≥1所以
x11x2102a12b15
或
x11x2112a12b11
5
f1当
x11x210时由于ab都是正整数且a≤b可得2a12b15
a1b3此时一元二次方程为x23x20它的两个根为x11x222当
x11x211时可得2a12b11
a1b1
此时一元二次方程为x2x10它无整数解综上所述当且仅当a1b3时题设方程有整数解且它的两个整数解为x11
x22
……………15分
13A已知AB为半圆O的直径点P为直径AB上的任意一点以点A为圆心AP为半径作
⊙A⊙A与半圆O相交于点C以点B为圆心BP为半径作⊙B⊙B与半圆O相交于点D且线段CD的中点为M求证MP分别与⊙A和⊙B相切证明如图连接ACADBCBD并且分别过点CD作AB的垂线垂足分别为EF则
CE‖DF因为AB是⊙O的直径所以∠ACB∠ADB90°在Rt△ABC和Rt△ABD中由射影定理得
PA2AC2AEABPB2BD2BFAB
第13A题答案图
……………5分两式相减可得
PA2PB2ABAEBF
又于是有即
PA2PB2PAPBPAPBABPAPB
AEBFPAPBPAAEPBBF
所以PEPF也就是说点P是线段EF的中点因此MP是直角梯形CDFE的中位线于是有MP⊥AB从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切……………15分14A1是否存在正整数m
使得mm2
12设kk≥3是给定的正整数是否存在正整数m
使得
mmk
1
6
f1答案是否定的若存在正整数m
使得mm2
1r