“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分意见
一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
xy121、方程组的解的个数为（xy6
）C、3D、4
A、1答案：A
B、2
xy12解：若x0，则，于是yy6，显然不可能xy6xy12若x0，则xy6
于是yy18，解得y9，进而求得x3
x3所以，原方程组的解为只有1个解。y9
2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（A、14答案：B解：用枚举法：红球个数5432故选B．3、已知ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过ABC的（A、内心答案：B解：如图，连接BE，因为ABC为锐角三角形，所以BAC，ABE均为锐角。又因为⊙
数学周报杯2007年全国初中数学竞赛试题及参考答案第1页共8页
）．
B、16
C、18
D、20
白球个数2，3，4，53，4，5，64，5，6，75，6，7，8
黑球个数3，2，1，03，2，1，03，2，1，03，2，1，0
种数4444
所以，共16种。
）D、垂心
B、外心
C、重心
fO的半径与ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以BACABE．于是，
BECBACABE2BAC．
若ABC的外心为O1，则BO1C2BAC，所以，⊙O一定过ABC的外心。故选B．4、已知三个关于x的一元二次方程ax2bxc0，bx2cxa0，cx2axb0恰有一个公共实数根，则A、0答案：D解：设x0是它们的一个公共实数根，则
a2b2c2的值为（bccaab
B、1
）C、2D、3
ax0bx0c0，bx0cx0a0，cx0ax0b0
222
把上面三个式子相加，并整理得abcx0x010
2


132因为x0x01x00，所以abc024
2
于是
a2b2c2a3b3c3a3b3ab3abab3bccaababcabcabc
3
故选D5、方程x36x25xy3y2的整数解（x，y）的个数是（A、0答案：A解：原方程可化为xr