2007年全国初中数学竞赛试题
班级座号姓名成绩
一、选择题（共5题，每小题6分，共30分）选择题（1、方程组A．1
xy12的实数解的个数为（xy6
B．2C．3
）D．4
2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个。现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）
A．14B．16C．18D．203、已知a、b、c是三个互不相等的实数，且三个关于x的一元二次方程
ax2bxc0bx2cxa0cx2axb0恰有一个公共实数根，则a2b2c2的值为（bccaab
A．0B．1）C．2D．3
4、已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且AB、AC分别相交于点D、E，若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（）B．外心
23
A．内心
3
C．重心
D．垂心）
5、方程x6x5xyy2的整数解（x，y）的个数是（A．0B．1C．3D．无穷多小题，二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）填空题（6、如图，点A、C都在函数y
33x0的图象上，点B、D都在x轴上，x

且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为
7、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB90°，CA4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）
1
f分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是

8、如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G
90°，则


9、已知点A，B的坐标分别为（1，0）（2，0），，若二次函数yx2a3x3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是10、已知对于任意正整数
，都有a1a2a
3则
111a21a31a1001

三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）解答题（11、已知抛物线C1：yx23x4和抛物线C2：yx23x4相交于A，B两点。点P在抛物线C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间。（1）求线段AB的长；（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值。
2
f12、已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x2abx
1ab0是否有两2
个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
3
f13、如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足
DEAD若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFGCFBC
的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD。求证：（1）
ADPD；（2）△PAB∽△PDCBCPC
4
f14、（1）是否存在正整r