球O的半径为________.
13答案2解析如图所示,由球心作平面ABC的垂线,
则垂足为BC的中点M
f又AM=12BC=52,OM=12AA1=6,
所以球O的半径R=OA=522+62=123
引申探究1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”,则此正方体外接球和内切球的体积各是多少?解由题意可知,此正方体的体对角线长即为其外接球的直径,正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R,内切球的半径为r
又正方体的棱长为4,故其体对角线长为43,
从而
V
4外接球=3π
R3=43π
×2
33=32
3π,
V
4内切球=3π
r3=43π
×23=323π
2.本例若将直三棱柱改为“棱长为a的正四面体”,则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少?
解正四面体棱长为a,则正四面体表面积为S1=4×43a2=3a2,其内切球半径r为正四
面体高的14,即
r=14
36a=126a,因此内切球表面积为
S2=4π
r2=π6a2,则SS12=
3a26πa2=π
3
6
思维升华1侧面展开图体现的是一种转化思想.用于寻找两种情况下图形长度或角度间的
关系.
2球的有关问题,可作过球心的截面,以利于求球的半径.跟踪训练21如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,
且EF=22,则三棱锥B-AEF的体积为______.
答案
112
f解析连结AC,BD,易知AC⊥平面BDD1B1,则V=V三棱锥B-AEF三棱锥A-BEF=13×A2C×S△BEF=13×A2C×12×EF×BB1=13×22×12×22×1=11222018全国Ⅲ改编设A,B,C,D是一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为________.答案183解析由等边△ABC的面积为93,可得43AB2=93,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=33AB=23设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=R2-r2=16-12=2所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183
1.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形,侧面对角线的长为23,则该直四棱柱的侧面积为________.答案162解析由题意得,直四棱柱的侧棱长为232-22=22,所以该直四棱柱的侧面积S=cl=4×2×22=1622如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3cm,AD=2cm,AA1=1cm,则三棱锥B1-ABD1的体积为________cm3
答案1
解析三棱锥B1-ABD1V的体积三棱锥B1-ABD1V=三棱锥D1-ABB1=13SABB1A1D1=13×12×3×1×2
=13.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1,S1,底面半径和高均为r的圆锥的体积和
f侧面积分r