球O的半径为________．
13答案2解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M
f又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，
所以球O的半径R＝OA＝522＋62＝123
引申探究1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43，
从而
V
4外接球＝3π
R3＝43π
×2
33＝32
3π，
V
4内切球＝3π
r3＝43π
×23＝323π

2．本例若将直三棱柱改为“棱长为a的正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
解正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×43a2＝3a2，其内切球半径r为正四
面体高的14，即
r＝14
36a＝126a，因此内切球表面积为
S2＝4π
r2＝π6a2，则SS12＝
3a26πa2＝π
3
6
思维升华1侧面展开图体现的是一种转化思想．用于寻找两种情况下图形长度或角度间的
关系．
2球的有关问题，可作过球心的截面，以利于求球的半径．跟踪训练21如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，
且EF＝22，则三棱锥B－AEF的体积为______．
答案
112
f解析连结AC，BD，易知AC⊥平面BDD1B1，则V＝V三棱锥B－AEF三棱锥A－BEF＝13×A2C×S△BEF＝13×A2C×12×EF×BB1＝13×22×12×22×1＝11222018全国Ⅲ改编设A，B，C，D是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为________．答案183解析由等边△ABC的面积为93，可得43AB2＝93，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝33AB＝23设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D－ABC体积的最大值为13×93×6＝183
1．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为23，则该直四棱柱的侧面积为________．答案162解析由题意得，直四棱柱的侧棱长为232－22＝22，所以该直四棱柱的侧面积S＝cl＝4×2×22＝1622如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3cm，AD＝2cm，AA1＝1cm，则三棱锥B1－ABD1的体积为________cm3
答案1
解析三棱锥B1－ABD1V的体积三棱锥B1－ABD1V＝三棱锥D1－ABB1＝13SABB1A1D1＝13×12×3×1×2
＝13．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和
f侧面积分r