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等比数列例题解析【例1】已知S
是数列a
的前
项和，
＝p
p∈R，S
∈N，那么数列a
．A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列C．当p≠0，p≠1时是等比数列D．不是等比数列分析由S
＝p
∈N，有a1S1＝p，并且当
≥2时，
a
S
－S
1＝p
－p
1＝p－1p
1
p≠0p－1p，因此数列a
成等比数列p－1≠0
1p1ppp1
2p2pp
故a2
但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D．说明数列a
成等比数列的必要条件是a
≠0
∈N，还要注
aa

意对任
∈N，
≥2，
都为同一常数是其定义规定的准确含义．

1
【例2】解
已知等比数列1，x1，x2，…，x2
，2，求x1x2x3…x2
．
∵1，x1，x2，…，x2
，2成等比数列，公比q
∴2＝1q2
1x1x2x3…x2
＝qq2q3…q2
q123…2
2
12

q
2
q

2
1
2


【例3】
等比数列a
中，1已知a24，a5＝－
12
，求通项公
式；2已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
解1a5a2q
52
∴q－
12
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∴a
＝a2q

2
＝4－
2
12

2
＝
12
3

4
2∵a3a5＝a4
a3a4a5＝a48
∴a4＝2
又a2a6＝a3a5＝a4∴a2a3a4a5a6a432
52
【例4】
已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入
个正数x1，x2，…，
x
，使得a，x1，x2，…，x
，b成等比数列，求
证

x1x2…x
＜
ab2
．
证明
∴q
设这
＋2个数所成数列的公比为q，则baq
1
1

ba
1
∴


x1x2…x


aqaq…aqab＜ab2
2


aq
2
【例5】－d2．
设a、b、c、d成等比数列，求证：b－c2＋c－a2＋d－b2＝a
证法一∵a、b、c、d成等比数列
∴abbccd
∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc∴左边b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b22b2－ac＋2c2－bd＋a2－2bc＋d2＝a2－2ad＋d2＝a－d2＝右边证毕．证法二
∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：
b＝aq，c＝aq2，daq3
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∴左边＝aq－aq22＋aq2－a2＋aq3－aq2＝a2－2a2q3＋a2q6a－aq32＝a－d2右边证毕．说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、的特点，c走的是利用等比的条件消去左边式中的b、的路子．c证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．【例6】求r