数列的通项公式：1a
中，a1＝2，a
1＝3a
＋22a
中，a12，a2＝5，且a
2－3a
1＋2a
＝0思路：转化为等比数列．
解1a
1
3a
＋2a

1
＋13a
＋1
∴a
＋1是等比数列∴a
＋133
1∴a
3
－1
2a
2
－3a

1
＋2a


0a

2
－a

1
2a

1
－a

∴a
1－a
是等比数列，即a
1－a
a2－a12
132
1再注意到a2－a13，a3－a2321，a4－a3322，…，a
－a
132
2，这些等式相加，即可以得到
a31＋2＋2＋…＋2
2
2


3
2

1
132

1
21
－1
说明
解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．1中发现a
＋1是
等比数列，2中发现a
1－a
是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．
【例7】若实数a1、a2、a3、a4都不为零，且满足a1＋a2a4－2a2
22222
a1＋a3a4＋a2＋a30求证：a1、a2、a3成等比数列，且公比为a4．
httpjsbpzx
etc

fhttpjsbpzx
etc

证
∵a1、a2、a3、a4均为不为零的实数
22222
∴a1＋a2x－2a2a1＋a3x＋a2＋a30为实系数一元二次方程等式a1＋a2a4－2a2a1＋a3a4＋a2＋a30说明上述方程有实数根a4．
22222
∴上述方程的判别式Δ≥0，即
－2a2a1＋a3－4a1＋a2a2＋a3－4a2－a1a3≥0∴a2－a1a3≤0
222222222
又∵a1、a2、a3为实数
∴a2－a1a3≥0必有a2－a1a30即a2a1a3
2222
因而a1、a2、a3成等比数列
又∵a42a2a1a32a1a2
22

a2a1a3a1a1a3
2

a2a1
∴a4即为等比数列a1、a2、a3的公比．【例8】若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．解设a、b、c分别为b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d与b－d、b、b＋d＋2都成等比数列，有
bb－d＋1b＋d2bb－db＋d＋2
2
①②
整理，得
bb－d＋b＋d222bb－d＋2b－2d
222
∴b＋d2b－2d即b3d代入①，得9d23d－d＋13d＋d9d22d＋14d解之，得d4或d0舍∴b12【例9】已知等差数列a
的公差和等比数列b
的公比都是d，又知d≠1，
且a4b4，a10b10：
httpjsbpzx
etc

fhttpjsbpzx
etc

1求a1与d的值；2b16是不是a
中的项？思路：运用通项公式列方程
解a1＋3da1da4b41由a1＋9da1da10b10
33
9
a11－d－3d9a11－d－9d
d＋d－20
63
d11舍r