2
a

b

a

b


12




12
，
b


12
a

b
a

b


12


12
．
【名师点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题23．【2019年高考北京卷理数】已知数列a
，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1i2…im），若
ai1ai2aim，则称新数列ai1，ai2，，aim为a
的长度为m的递增子列．规定：数列a
的任意
一项都是a
的长度为1的递增子列．（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（2）已知数列a
的长度为p的递增子列的末项的最小值为am0，长度为q的递增子列的末项的最小值
为a
0．若pq，求证：am0a
0；
（3）设无穷数列a
的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若a
的长度为s的递增子列末项的最小值为2s1，且长度为s末项为2s1的递增子列恰有2s1个（s1，2，…），求数列a
的通项公式．【答案】11356（答案不唯一）；2见解析；3见解析（1）1，3，5，6（答案不唯一）
（2）设长度为q末项为a
0的一个递增子列为ar1ar2arq1a
0由pq，得arparq1a
0
因为a
的长度为p的递增子列末项的最小值为am0，又ar1ar2arp是a
的长度为p的递增子列，
11
f所以am0arp所以am0a
0
（3）由题设知，所有正奇数都是a
中的项先证明：若2m是a
中的项，则2m必排在2m1之前（m为正整数）
假设2m排在2m1之后
设ap1ap2apm12m1是数列a
的长度为m末项为2m1的递增子列，则ap1ap2apm12m12m是数列a
的长度为m1末项为2m的递增子列与已知矛盾再证明：所有正偶数都是a
中的项假设存在正偶数不是a
中的项，设不在a
中的最小的正偶数为2m因为2k排在2k1之前（k1，2，…，m1），所以2k和2k1不可能在a
的同一个递增子列中又a
中不超过2m1的数为1，2，…，2m2，2m1，2m1，所以a
的长度为m1且末项为2m1的
递增子列个数至多为2222112m12m
m1个
与已知矛盾最后证明：2m排在2m3之后（m≥2为整数）
假设存在2m（m≥2），使得2m排在2m3之前，则a
的长度为m1且末项为2ml的递增子列的个数小
于2m与已知矛盾
综上，数列a
只可能为2，1，4，3，…，2m3，2m，2m1，…
经验证，数r