《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义
1
函数的平均变化率：函数
fx在区间x1x2上的平均变化率为：
fx2fx1。x2x1
2导数的定义：设函数yfx在区间ab上有定义，x0ab，若x无限趋近于
0
时，比值
yx

fx0xx
fx0无限趋近于一个常数A，则称函数
fx在xx0处可导，
并称该常数A为函数fx在xx0处的导数，记作fx0。函数fx在xx0处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量yfx0xfx0；（2）求平均变
化率：
fx0
xx
f
x0；（3）取极限，当x无限趋近与
0
时，
fx0
xx
f
x0无限趋
近与一个常数A，则fx0A4导数的几何意义：
函数fx在xx0处的导数就是曲线yfx在点x0fx0处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：
（1）求出yfx在x0处的导数，即为曲线yfx在点x0fx0处的切线的斜率；
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为yy0fx0xx0。
当点Px0y0不在yfx上时，求经过点P的yfx的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线yfx在点
x0fx0处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为xx0。
5导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间t的函数St，则VSt表示瞬时速度，avt表示瞬时加速度。二、导数的运算1常见函数的导数：
（1）kxbkkb为常数；
（2）C0C为常数；
（3）x1；（5）x33x2；
（4）x22x；
（6）

1x



1x2
；
1
f（7）x1；2x
（8）xααxα1（α为常数）；
（9）axaxl
aa0a1；
（10）loga
x

1x
log
a
e

1xl
a
a

0a
1
；
（11）exex；（13）si
xcosx；
（12）l
x1；x
（14）cosxsi
x。
2函数的和、差、积、商的导数：
（1）fxgxfxgx；
（2）CfxCfx（C为常数）；
（3）fxgxfxgxfxgx；
（4）

fg
xx

fxgxfxgxg2x
gx0。
3简单复合函数的导数：
若yfuuaxb，则yxyuux，即yxyua。
三、导数的应用1求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yfx在区间ab内可导，
（1）如果恒fx0，则函数yfx在区间ab上为增函数；（2）如果恒fx0，则函数yfx在区间ab上为减函数；（3）如果恒fr