布
律
为
：
XP
x1p1
x2p2
……
xkpk
……
则
X
的函数
YgX的分布律为：
YP
gx1p1
gx2…gxkp2…pk…
…
当gxj有相同情况时，概率为相应之和。
2．连续型的公式法：
设X为连续型随机变量，其密度函数为fXx，设gx是一严格单调的可导函数，其值域，且gx0，
记xhy为ygx的反函数，则YgX的密度函数为fYyfX0hyhy其它y
3．连续型的直接变换法分布函数法：
FYyPYyPgxyPXS，其中Sxgxy，然后再把FYy对y求导，即得fYy
fYydFY0ydy
当FYy在y处可导时当FYy在y处不可导时
随机变量的函数的概率分布的例题：
例1设X的分布律为：XP
102
003
1201
04，求YX12的分布律。
解：先由X的值确定Y的值，得到YX
14
01
10
12，将Y的值相同的X的概率合在一起，得到Y的分
布律PY
402
107
001。
例2设随机变量X的分布函数为FXx，求随机变量Y3X2的分布函数FYy
y2
y2
解：FYyPYyP3X2yPX3FX3
例3设随机变量X的密度函数为fXx32x2
1x1求随机变量Y3X2的密度函数fYy
0其它
解：用公式法：设ygx3x2
ygx的反函数为xhy
y23

1y321
1y5
hy
13
则YgX的密度函数为
fYyfX0hyhy其它
y32y322131y5118y22
0
其它
0
1y5其它

例4设X在区间02上服从均匀分布，试求YX3的概率密度。
解：因XU02，所以fXx102
0x2其它
。
用分布函数法分段讨论：当y0时
3
FYyPYyPX3y0，当0y8时
FYyPYy
PX3y
PX3
y
y102
dx，fYy
FYy
f12
13
y32

1当y8时63y2
FYyPYyPX3yPX3y0221dx1，fYyFYy0fYy
163y20
0y8其它
5已知
的概率密度为
f
x

21
，则
x2
3
的概率密度函数为__________
6设XU02，则随机变量YX2在（０，４）内的概率密度函数为
1
fY
y


2
y
0
0y4其他
7设随机变量X在01服从均匀分布则
fyy

1y
1
y
e的概率密度为
第三章多维随机变量及其概率分布
二维随机变量：
二维随机向量的联合分布函数指FxyPxy
0Fxy1F∞∞Fx∞F∞y0F∞∞1
Px1x2y1y2Fx2y2Fx2y1Fx1y2Fx1y1
二维随机向量的边缘分布函数
FxPxFxr