1等差数列的定义与性质
数列基础知识点和方法归纳
定义：a
1a
d（d为常数），a
a1
1d
等差中项：x，A，y成等差数列2Axy
前
项和
S


a1
a
2



a1


1
2
d
性质：a
是等差数列
（1）若m
pq，则ama
apaq；
（2）数列a2
1a2
a2
1仍为等差数列，S
，S2
S
，S3
S2
……仍为等差数列，公差为
2d；
（3）若三个成等差数列，可设为ad，a，ad
（4）若
a
，b

是等差数列，且前


项和分别为
S

，T

，则
ambm

S2m1T2m1
（5）a
为等差数列S
a
2b
（a，b为常数，是关于
的常数项为0的二次函数）
S
的最值可求二次函数S
a
2b
的最值；或者求出a
中的正、负分界项，
即：当
a1

0，d

0
，解不等式组
a
0a
1
0
可得
S

达到最大值时的


值
当a1

0，d

0，由
a
a

01
0
可得
S

达到最小值时的
值
6项数为偶数2
的等差数列a
，有
S2


a1
a2


a2
a2
1


a


a
1

a


a
为中间两项
1

S偶
S奇

d，S奇S偶

a
a
1

（7）项数为奇数2
1的等差数列a
，有
S2
1

2


1a


a
为中间项


，
S奇
S偶

a

，
S奇S偶


1
1
f2等比数列的定义与性质
数列基础知识点和方法归纳
定义：
a
1a


q
（q为常数，q

0），a

a1q
1
等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy

a1q1
前
项和：S



a1
1q


1q
（要注意！）q1
性质：a
是等比数列
（1）若m
pq，则am
a


a

p
aq
（2）S
，S2
S
，S3
S2
……仍为等比数列公比为q

注意：由S
求a
时应注意什么？

1时，a1S1；

2时，a
S
S
1
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列a
，
12
a1

122
a2
……
12

a


2

5，求
a

（2）叠乘法
如：数列a
中，a1

3，a
1a





1
，求
a

（3）等差型递推公式由a
a
1f
，a1a0，求a
，用迭加法
2
f数列基础知识点和方法归纳
［练习］数列a
中，a1
1，a


3
1
a
1



2，求a

（
a


12
3
1
）
（4）等比型递推公式a
ca
1d（c、d为常数，c0，c1，d0）
可转化为等比数列，设a
xca
1xa
ca
1c1x
令
c
1x

d
，∴
x

dc1
，∴

a


c
d1
是首项为
a1

d，cc1
为公比的等比数列
∴
a


dc1


a1

dc1

c
1，∴a



a1

c
d
1

c

1

c
d
1
（5）倒数法
如：
a1

1，a
1

2a
a
2
，求
a

附：
a公式法、利用

S1
1
S
S
1
2、累加法、累乘法构造等差或等比
a
1pa
q或
a
1pa
f
、待定系数法、对数变换法、迭代法、r