优加教育独家经典讲义
数列基础知识点和方法归纳
1等差数列的定义与性质
定义：a
1a
d（d为常数），a
a1
1d
等差中项：x，A，y成等差数列2Axy
前
项和
S


a1
a
2



a1


1
2
d
性质：a
是等差数列
（1）若m
pq，则ama
apaq；
（2）数列a2
1a2
a2
1仍为等差数列，S
，S2
S
，S3
S2
……仍为等差数
列，公差为
2d；
（3）若三个成等差数列，可设为ad，a，ad
（4）若a
，b
是等差数列，且前
项和分别为S
，T
，则
ambm

S2m1T2m1
（5）a
为等差数列S
a
2b
（a，b为常数，是关于
的常数项为0的二
次函数）
项，
S
的最值可求二次函数S
a
2b
的最值；或者求出a
中的正、负分界
即：当a10，d0，解不等式组aa
100可得S
达到最大值时的
值
当
a1

0，d

0
，由
a
0a
1
0
可得
S

达到最小值时的


值
6项数为偶数2
的等差数列a
，有
S2
a1a2
a2a2
1
a
a
1a
a
1为中间两项
S偶S奇

d，S奇S偶

a
a
1

（7）项数为奇数2
1的等差数列a
，有
1
f优加教育独家经典讲义
S2
12
1a
a
为中间项，
S奇S偶

a

，
S奇S偶


1
2等比数列的定义与性质
定义：
a
1a


q
（q为常数，q

0），a


a1q
1
等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy

a1q1
前
项和：S



a1
1q


1q
（要注意！）q1
性质：a
是等比数列
（1）若m
pq，则ama
apaq
（2）S
，S2
S
，S3
S2
……仍为等比数列公比为q

注意：由S
求a
时应注意什么？

1时，a1S1；

2时，a
S
S
13．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列a
，
12
a1

122
a2
……
12

a


2
5，求a

解


1时，
12
a1

21
5
，∴
a1
14
①



2
时，
12
a1

122
a2
……
12
1
a
1

2

1
5
②
①②得：
12

a


2，∴
a


2
1，∴a


14
12
1
2
［练习］数列a

满足
S


S
1

53
a
1，a1

4
，求
a

注意到a
1

S
1
S
，代入得
S
1S


4又S1；

4，∴
S

是等比数列，S
4

2
f优加教育独家经典讲义

2时，a
S
S
1……34
1（2）叠乘法
如：数列a
中，a1

3，a
1a





1
，求
a

解
a2a1
a3……a

a2
a
1

12
2……
1，∴
3


a
a1

1

又a1

3，∴a


3


（3）等差型递推公式
由a
a
1f
，a1a0，求a
，用迭加法
a2a1f2

2时，
a3a2f3…………


两边相加得
a

a1

f2
f
3……
f



a
a
1f

∴a
a0f2f3……f

［练习］数列a
中，a1
1，a

3
1r