1时ga0；当a1时，ga0由上知若a1，
则
fmi

1
1a
l
a

ga
0，故
f
x

0恒成立，从而
f
x
无零点，不满足条件．
f若a
1，则
fmi

1
1a
l
a

ga

0，故
f
x

0
仅有一个实根
x

l
a
0
，不满足件；
若0
a
1，则
fmi

1
1a
l
a

ga
0，注意到l
a0，
f
1

ae2

ae
1
2e

0，
故
f
x
在1，l

a
上有一个实根而又
l


3a
1

l

1a

l
a
，
且
f
l


3a
1

el


3a
1
a

el

3a
1


a

2


l


3a
1


3a
13
a

a

2

l


3a
1


3a
1

l


3a
1

0
，故
f
x
在


l

a
，l


3a

1

上有一个实根．
又fx在，l
a上单调递减，在l
a，单调递增，故fx在R上至多两根．
综上所述，0a1．
4（2018年2卷21题）已知函数
．
（1）若，证明：当时，
；
（2）若在
只有一个零点，求．
【解析】（1）当时，
等价于
．设函数
，则
．当时，
，所以在
单调递减．
而
，故当时，
，即
．
（2）设函数
．在
只有一个零点当且仅当在
只有一个零
点．（i）当时，
，没有零点；（ii）当时，
．
当
时，
；当
时，
．所以在单调递减，在
单调
递增．故
是在
的最小值．①若
，即，在
没有零
点；②若
，即，在
只有一个零点；
③若
，即，由于
，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，
，所以
．
故在有一个零点，因此在
综上，在
只有一个零点时，
有两个零点．．
5（2019年1卷20题）已知函数fxsi
xl
1x，fx为fx的导数．证明：
（1）fx在区间1存在唯一极大值点；2
（2）fx有且仅有2个零点．
f【解析】（1）由题意知：fx定义域为：1且fxcosx1
x1
令
gx
cosx
1x1
，
x


1
2

，
gx

si

x
1
x12
，
x


1
2

1
x12
在

1
2

上单调递减，
si

x，在

1
2

上单调递减，r