016年2卷21题）
1讨论函数fxx2ex的单调性，并证明当x0时，x2exx20x2
2证明：当a01
时，函数
g
x
ex
axx2

a
x

0
有最小值设gx的最小值为ha，
求函数ha的值域
f【解析】⑴证明：fxx2ex
x2
f
x

ex

xx

22

x
4
22


x2ex
x22
∵当x，22时，fx0∴fx在，2和2上单调
递增∴x0时，x2exf01∴x2exx20
x2
⑵
gx
exax22xexaxax4
xxex2exax2a

x4

x

2
x2x2
x3
ex

a

a0，1，由1知，当x0时，fxx2ex的值域为1，，只有一解．使
x2
得t2eta，t0，2
t2
当x0t时gx0，gx单调减；当xt时gx0，gx单调增
ha
et
at1
t2

et
t1t2et
t2t2

ett2
记，
ktet
t2
，在
t02
时，
kt


ettt
122

0
，∴
k
t

单调递增∴
h
a

k
t



12
，e24

．
3（2017年1卷21题）已知函数fxae2xa2exx（1）讨论fx的单调性；（2）若fx有两个零点，求a的取值范围
【解析】（1）由于fxae2xa2exx，所以
fx2ae2xa2ex1aex12ex1
①当a0时，aex10，2ex10，从而fx0恒成立，所以fx在R上单调递减②当a0时，令fx0，从而aex10，得xl
a．
x，l
al
al
a，
f′x

0

fx
极小值
综上所述，当a0时，fx在R上单调递减；当a0时，fx在l
a上单调递减，在l
a上单调递增
（2）由（1）知，当a0时，fx在R上单调递减，故fx在R上至多一个零点，
不满足条件．当a

0时，
fmi


f
l
a
1
1a

l
a
．令
ga
1
1a

l
aa

0
，
则
ga

1a2

1a

0
，从而
ga
在0，

上单调递增而
g
1

0
，所以当0

a
1时，
ga0；当ar