ff4、计算三重积分
x2y2z2dxdydz，其中为锥面zx2y2与球面

x2y2z24所围的立体．
例5计算三重积分x2y2z2dxdydz其中
为锥面zx2y2与球面x2y2z24所围立体
解在球面坐标系下xrsi
cos
0r2
zr2
yrsi
si


0



π4
zrcos
02π
π4
x2y2z2dxdydz

2πd
π
4si
d
2
r
4
d
r
0
0
0
32π225
Oy
xdvr2si
drdd
5、线积分PxydxQxydy
cosxy2dx2ycosxy2
1
dy，
L
L

1y4
其中L为
摆线xatsi
tya1cost上由点O00到点A2a0的有向弧段．
f6、利用斯托克斯公式计算积分zdx2xdy3ydz，其中为平面xyz1被三坐
标面所截三角形的整个边界，方向从z轴正向往下看为逆时针．
例1利用斯托克斯公式计算积分zdx2xdy3ydz
其中为平面xyz1被三坐标面所截三角形的整
个边界方向如图所示
z
1
解记三角形域为取上侧则
zdx2xdy3ydzdydzdzdxdxdy

x
z


y
z
2x3y
O
1
1y
x
Dxy
3dydzdzdx2dxdy6
dxdy＝3
Dxy
利用对称性
7、设：z1x2y2，计算Iz2cosdS，其中是的外法线与z轴正向所
夹的锐角．
例4设z1x2y2是其外法线与z轴正向
夹成的锐角计算Iz2cosdS
z
解Iz2cosdS
1


z2dxdy
1
1y

1x2y2dxdy
Dxy
x

2π
d
1
1

r
2

r
dr
0
0
π2
f三、试解下列各题（共20分，每题10分）
1、求二元函数ux2xyy2在点P11处沿方向e121的方向导数，并指
l
5
出函数u在该点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？函数u沿哪个方向减小得最快？沿着哪个方向函数u的值不变化？
例1求二元函数ux2xyy2在点P（1，1）处
沿方向el
121的方向导数，并指出u在该5
点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向
导数值是多少？u沿哪个方向减小的最快？沿着
哪个方向u的值不变化？
解：u
11

ux

u
y
11

2x

y2y

x
11

33
u11l

u11el

1633
5
5
1方向导数取最大值r