余1。如果表中9个数变为相等，那么9个数的总和应能被3整除，这就得出矛盾！所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为9个相同的数。
【例17】一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
【考点】运用同余进行论证【难度】4星【题型】解答【关键词】仁华学校【解析】设这个三位数为s，它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和
，则s17am19b
．
根据题意可知amb
，所以samsb
，即16a18b，得8a9b．所以a是9的倍
数，b是8的倍数．此时，由amb
知
maba8a1a．由于s为三位数，最小为99
100，最大为999，所以10017am999，而1m16，所以17a117am999，
10017am17a16，得到5a58，而a是9的倍数，所以a最小为9，最大为54．当a54时，

m1a6，而
18，所以m12，故此时s最大为175412930；当a9时，
m1a1，
9
9
由于m1，所以此时s最小为1791154．所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．
【答案】最大的是930，最小的是154
【例18】从1，2，3，……，
中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则
的最大值为多少？【考点】运用同余进行论证【难度】4星【题型】解答【关键词】西城实验
【解析】被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66……，其中只要取到两个相邻的，这两个数的差为13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中
不可能有两个数的差为
13，对于任意一条长度为
x
的序列，都最多能取
x


x2

个数，使得取出的数
中没有两个数的差为13，即从第1个数起隔1个取1个．
基于以上，

个数分成
13
个序列，每条序列的长度为

13

或

13


1
，两个长度差为
1
的序列，要
f使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的数的个数之差也不会超过1，所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1，那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了5个数，则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9，那么当
最小为8895109时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13，所以要使任取57个数必有两个数的差为13，那么
的最大值为108．【答案】108
【例19】设2
1是质数，证明：12，22，…，
2被2
1除所得的余r