773几何中的重叠问题
教学目标
1了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
知识要点
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
用式子可表示成：ABABAB其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”
读作“交”，相当于中文“且”的意思．则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下A表示小圆
部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．
1．先包含AB重叠部分AB计算了2次，多加了1次；
2．再排除ABAB把多加了1次的重叠部分AB减去．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求AB意思是把A、B的一切元素都“包含”进
来，加在一起；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB意思是“排除”了重复计算的元素个数．
二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABCABCABBCACABC．图示如下：
图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．
1．先包含：ABC重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次．
2．再排除：ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABCABBCAC计算时都被减掉了．
3．再包含：ABCABBCACABC．
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图韦恩图来帮助分析思考．
f例题精讲
【例1】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？
【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487厘
米．【答案】87厘米
【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接r