553同余问题
教学目标
1学习同余的性质2利用整除性质判别余数
知识点拨
同余定理
1、定义:若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:a≡bmodm,左边的式子叫做同余式。同余式读作:a同余于b,模m。
2、重要性质及推论:(1)若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除
例如:17与11除以3的余数都是2,所以(1711)能被3整除.(2)用式子表示为:如果有a≡bmodm,那么一定有a-b=mkk是整数,即ma-b3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的.建立余数判别法的基本思想是:为了求出“N被m除的余数”,我们希望找到一个较简单的数R,使得:N与R对于除数m同余.由于R是一个较简单的数,所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数.
⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数;⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数;⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数;⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数;⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数;(不够减的话先适当加11的倍数再减);⑹整数N被7,11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与
偶数节的数之和的差被7,11或13除的余数就是原数被7,11或13除的余数.
例题精讲
模块一、两个数的同余问题
【例1】有一个整数,除3951147所得的余数都是3,求这个数【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】法139336,51348,1473144,3614412,12的约数是1234612,因为余数为3
要小于除数,这个数是4612;法2由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.513912,14739108,1210812,所以这个数是4612.【答案】4612
f【例2】某个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,这个两位数是______【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中,分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1,同理这个两位数除以4、5都余1,这样,这个数就是3、
4、5160161。【答案】61
【例3】有一个自然数,除345和543r