r22r3，要消去余数r1r2r3我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：603AK1r1
9392A2K22r23934A2K34r3这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A整除．93926031275，3934603969，127596951317．51
的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A等于17．【答案】17
【例13】已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是a1，a2，a31，求该自然数的值．【考点】三个数的同余问题【难度】5星【题型】解答
【解析】根据题意可知，自然数61，154，201被该数除所得余数分别是a，a2，a3．
由于a2aa，所以自然数6123721与154同余；由于a3aa2，所以611549394与201同余，所以除数是37211543567和93942019193的公约数，运用辗转相除法可得到3567919329，该除数为29．经检验成立．
【答案】29
【例14】有一个自然数，它除以15、17、19所得到的商＞1与余数＞0之和都相等，这样的数最小可能是多少．
【考点】三个数的同余问题【难度】5星【题型】解答【解析】
A15aX（aXa）A15a（Xa）14aX

A

17

bX（b
X
b）
A
17b
（X
b）16b

X

A

19

cX（c
X

c）
A
19c
（X
c）18c

X
14a16b18c72aa至少为72，A15aXa1572Xa1080Xa
f14a16b18c63bb至少为63，A17bXb1763Xb1071Xb14a16b18c56cc至少为56，A19cXc1956Xc1064Xc最小为1081．【答案】1081
【例15】三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以192331所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
【考点】三个数的同余问题【难度】4星【题型】填空【关键词】祖冲之杯【解析】设所得的商为a，除数为b．19ab23ab31ab2001，73a3b2001，由b19，可
求得a27，b10．所以，这三个数分别是19ab523，23ab631，31ab847。【答案】523，631，847
模块三、运用同余进行论证
【例16】在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？
【考点】运用同余进行论证【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】因为表中9个质数之和恰为100，被3除余1，经过每一次操作，总和增加3的倍数，所以表中9个
数之和除以3总是r