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【易错防范】
函数y＝fx在某一区间a，b上存在零点，必要时要由函数零点存在定理作为保证
【分层训练】
【基础巩固题组】建议用时：30分钟
一、选择题
1已知函数fx的定义域为－1，4，部分对应值如下表：
x
－10234
ffx
12020
fx的导函数y＝f′x的图象如图所示当1a2时，函数y＝fx－a的零点的个数为
A1
B2
C3
D4
【答案】D
【解析】根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y＝fx的大致图象如图所示
由于f0＝f3＝2，1a2，所以y＝fx－a的零点个数为4二、填空题2直线x＝t分别与函数fx＝ex＋1的图象及gx＝2x－1的图象相交于点A和点B，则AB的最小值为________【答案】4－2l
2【解析】由题意得，AB＝et＋1－2t－1＝et－2t＋2，令ht＝et－2t＋2，则h′t＝et－2，所以ht在－∞，l
2上单调递减，在l
2，＋∞上单调递增，所以htmi
＝hl
2＝4－2l
20，即AB的最小值是4－2l
23若函数fx＝axe－xa＋1a0没有零点，则实数a的取值范围为________【答案】－e2，0【解析】f′x＝aex－（ea2xx－a）ex＝－a（exx－2）a0当x2时，f′x0；当x2时，f′x0，∴当x＝2时，fx有极小值f2＝ea2＋1
fa若使函数fx没有零点，当且仅当f2＝e2＋10，解之得a－e2，因此－e2a0
三、解答题
42019保定调研已知函数fx＝a6x3－a4x2－ax－2的图象过点A4，1301求函数fx的单调递增区间；
2若函数gx＝fx－2m＋3有3个零点，求m的取值范围
【答案】见解析
【解析】1因为函数fx＝a6x3－a4x2－ax－2的图象过点A4，130，所以332a－4a－4a－2＝130，解得a＝2，即fx＝13x3－12x2－2x－2，所以f′x＝x2－x－2
由f′x0，得x－1或x2
所以函数fx的单调递增区间是－∞，－1，2，＋∞2由1知fx极大值＝f－1＝－13－12＋2－2＝－56，fx极小值＝f2＝83－2－4－2＝－136，由数形结合，可知要使函数gx＝fx－2m＋3有三个零点，则－1362m－3－56，解得－76m1123所以m的取值范围为－76，11325设函数fx＝l
x＋mxm0，讨论函数gx＝f′x－x3零点的个数【答案】见解析【解析】函数gx＝f′x－x3＝1x－xm2－x3x0，令gx＝0，得m＝－13x3＋xx0设hx＝－13x3＋xx0，所以h′x＝－x2＋1＝－x－1x＋1
当x∈0，1时，h′x0，此时hx在0，1内单调递增；当x∈1，＋∞时，h′x0，此时hx在
f1，＋∞内单调递减所以当x＝1时，hx取得极大值h1＝－13＋1＝23令hx＝0，即－13x3＋x＝0，解得x＝0舍去或x＝3作r