出函数hx的大致图象如图，结合图象知：
①当m23时，函数y＝m和函数y＝hx的图象无交点②当m＝23时，函数y＝m和函数y＝hx的图象有且仅有一个交点③当0m23时，函数y＝m和函数y＝hx的图象有两个交点综上所述，当m23时，函数gx无零点；当m＝23时，函数gx有且仅有一个零点；当0m23时，函数gx有两个零点【能力提升题组】建议用时：25分钟62018江苏卷改编若函数fx＝2x3－ax2＋1a∈R在区间0，＋∞内有且只有一个零点，求fx在－1，1上的最大值与最小值的和【答案】见解析【解析】f′x＝6x2－2ax＝2x3x－aa∈R，当a≤0时，f′x0在0，＋∞上恒成立，则fx在0，＋∞上单调递增，又f0＝1，所以此时fx在0，＋∞内无零点，不满足题意当a0时，由f′x0得xa3，由f′x0得0xa3，则fx在0，a3上单调递减，在a3，＋∞上单调递增，又fx在0，＋∞内有且只有一个零点，所以fa3＝－2a73＋1＝0，得a＝3，所以fx＝2x3－3x2＋1，则f′x＝6xx－1，当x∈－1，0时，f′x0，fx单调递增，当x∈0，1时，f′x0，fx单调递减
f则fxmax＝f0＝1，f－1＝－4，f1＝0，
则fxmi
＝－4，所以fx在－1，1上的最大值与最小值的和为－3
7已知函数fx＝ax＋l
x，其中a为常数
1当a＝－1时，求fx的单调递增区间；2当0－1ae时，若fx在区间0，e上的最大值为－3，求a的值；3当a＝－1时，试推断方程fx＝l
xx＋12是否有实数根【答案】见解析
【解析】1由已知可知函数fx的定义域为xx0，当a＝－1时，fx＝－x＋l
xx0，f′x＝1－xxx0；当0x1时，f′x0；当x1时，f′x0
所以fx的单调递增区间为0，1
2因为f′x＝a＋1xx0，令f′x＝0，解得x＝－1a；由f′x0，解得0x－1a；由f′x0，解得－1axe从而fx的单调递增区间为0，－1a，递减区间为－1a，e，所以，fxmax＝f－1a＝－1＋l
－1a＝－3解得a＝－e2
3由1知当a＝－1时，fxmax＝f1＝－1，
所以fx≥1令
gx＝l
x
x1＋2，则
g′x＝1－xl2

x
当0xe时，g′x0；当xe时，g′x0
从而gx在0，e上单调递增，在e，＋∞上单调递减所以gxmax＝ge＝1e＋121，所以，fxgx，即fxl
xx＋12，
l
x1所以，方程fx＝x＋2没有实数根
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