时，f′x0，f′x没有零点；
当a0时，因为y＝e2x单调递增，y＝－ax单调递增，
所以f′x在0，＋∞上单调递增．
又f′a0，假设存在b满足0ba4时，且b14，f′b0，
故当a0时，f′x存在唯一零点．
f2证明由1，可设f′x在0，＋∞上的唯一零点为x0，当x∈0，x0时，f′x0；当x∈x0，＋∞时，f′x0故fx在0，x0上单调递减，在x0，＋∞上单调递增，所以当x＝x0时，fx取得最小值，最小值为fx0．由于2e2x0－xa0＝0，所以fx0＝2ax0＋2ax0＋al
2a≥2a＋al
2a故当a0时，fx≥2a＋al
2a【规律方法】1在1中，当a0时，f′x在0，＋∞上单调递增，从而f′x在0，＋∞上至多有一个零点，问题的关键是找到b，使f′b02．由1知，函数f′x存在唯一零点x0，则fx0为函数的最小值，从而把问题转化为证明fx0≥2a＋al
2a【训练3】2019天津和平区调研已知函数fx＝l
x－x－mm－2，m为常数．1求函数fx在1e，e的最小值；2设x1，x2是函数fx的两个零点，且x1x2，证明：x1x21
【答案】见解析【解析】1解fx＝l
x－x－mm－2的定义域为0，＋∞，且f′x＝1－xx＝0，∴x＝1当x∈0，1时，f′x0，所以y＝fx在0，1递增；当x∈1，＋∞时，f′x0，所以y＝fx在1，＋∞上递减．
且f1e＝－1－1e－m，fe＝1－e－m，因为f1e－fe＝－2－1e＋e0，函数fx在1e，e的最小值为1－e－m2证明由1知x1，x2满足l
x－x－m＝0，且0x11，x21，l
x1－x1－m＝l
x2－x2－m＝0，由题意可知l
x2－x2＝m－2l
2－2又由1可知fx＝l
x－x在1，＋∞递减，故x22，
f所以0x1，x121则fx1－fx12＝l
x1－x1－l
x12－x12＝l
x2－x2－l
x12－x12＝－x2＋x12＋2l
x2令gx＝－x＋1x＋2l
xx2，则g′x＝－1－x12＋2x＝－x2＋x22x－1＝－（xx－21）2≤0，
当x2时，gx是减函数，
所以gxg2＝－32＋l
4
3
3
3
因32－l

e22562（162）216340964＝l
4l
4＝l
4＝l
4＝l
4l

1＝0，∴gx0，
所以当x2时，fx1－fx120，即fx1fx12因为0x1，x121，fx在0，＋∞上单调递增．
所以x1x12，故x1x21
【反思与感悟】
1．解决函数y＝fx的零点问题，可通过求导判断函数图象的位置、形状和发展趋势，观察图象与x轴的
位置关系，利用数形结合的思想方法判断函数的零点是否存在及零点的个数等．
2．通过等价变形，可将“函数Fx＝fx－gx的零点”与“方程fx＝gx的解”问题相互转化r