由分步计数原理得：
A43
＝
C
34

A33
，所以，
C
34

A43A33
．
（2）推广：一般地，求从
个不同元素中取出m个元素的排列数A
m，可以分如下两步：
①先求从


个不同元素中取出
m
个元素的组合数
C
m

；②求每一个组合中
m
个元素全排
列数
Amm
，根据分步计数原理得：
A
m
＝
C
m


Amm
．
2
f人教版高中数学选修23教学设计
（3）组合数的公式：C
m

A
mAmm


1
2m

m1
或
C
m


m

m

mN且m
．
三、例题
例
1．计算：（1）
C
47
；（2）
C170
；
（1）解：C74

7654
4
＝35；
（2）解法
1：C170

10987657
4
＝120．
解法
2：C170

1073

10983
＝120．
例
2．设
x

N


求
C
x12x3

C2x3x1
的值
解：由题意可得：
2xx1
3
x2x
13
，解得
2

x

4
，
∵xN，∴x2或x3或x4，
当x2时原式值为7；当x3时原式值为7；当x4时原式值为11．
∴所求值为4或7或11．
例3．6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？
解：
C
26

C
24

C
22

90．
引申：从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女
生参加，有多少种选法？
解：问题可以分成2类：
第一类2名男生和2名女生参加，有C52C4260中选法；第二类3名男生和1名女生参加，有C53C4140中选法
依据分类计数原理，共有100种选法
错解：C52C41C61

240
种选法
新疆王新敞
奎屯
引导学生用直接法检验，可知重复的很多
3
f人教版高中数学选修23教学设计
例4．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有
多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3
男，2
男
1
女，1
男
2
女，分别有
C
34
，C
24

C
16
，
C
14

C
26
，所以，一共有
C
34

C
24

C
16

C
14

C
26
＝100
种方法．
解法二：（间接法）C130

C
36
100
四、课堂练习
1．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（）
A．42B．21C．7D．6
2．如果把两条异面直线看作“一对”，则在六棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（）
A．12对B．24对C．36对D．48对
3．设全集Uabcd，集合A、B是U的子集，若A有3个元素，B有2个元素，且ABa，求集合A、B，则本题的解的个数为（）
A．42B．21C．7D．3
4已知
C
2x
＝28，则
x
的值为

A9
B8
C7
D6
5以下四个式子中正确的个数是
1C
m

＝
A
mm
；
（2）A
m

＝ｎr