x
1≤1，1x

当x≤2，时，对任意的正整数
，恒有故只需证明1l
x1≤x1
令hxx11l
x1x2l
x1x∈2∞则h′x1
1x2x1x1
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gxi
cha
gc

王新敞
当x≥2时，h′x≥0，故hx在2∞上单调递增，因此当x≥2时，hx≥h20，即1l
x1≤x1成立当x≥2时，有
故
1l
x1≤x11x

即f（x）≤x122本小题满分14分如图，设抛物线方程为x22pyp＞0M为直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，2p）时，AB410，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x22pyp＞0上，其中，C满足OCOAOB（O为坐标原点）点若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由（Ⅰ）证明：由题意设Ax1
uuur
uuuuuurr
x12x2Bx22x1＜x2Mx02p2p2px2x，则y′2pp
由x22py得y
所以kMA
x1xkMB2ppx1xx0px2xx0p
因此直线MA的方程为y2p
直线MB的方程为y2p
所以
x12x2p1x1x02pp
2x2x2p2x2x02pp2x1x2x1x2x022x1x2，即2x0x1x22
①
②
由①、②得
因此
x0
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王新敞
所以A、M、B三点的横坐标成等差数列（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x02时，将其代入①、②并整理得：
x124x14p20
2x24x24p20
所以x1、x2是方程x4x4p0的两根，
22
因此x1x24x1x24p
2
又kAB
2x2x122p2px1x2x0x2x12pp
所以kAB
2p
由弦长公式得
AB1k2x1x224x1x21
又AB410，所以p1或p2，
41616p22p
22因此所求抛物线方程为x2y或x4y
（Ⅲ）解：设Dx3y3，由题意得Cx1x2y1y2则CD的中点坐标为Q
x1x2x3y1y2y322x0xx1px1x2y1y2也在直线AB上，22
设直线AB的方程为yy1
由点Q在直线AB上，并注意到点代入得y3
x0x3p
2
若D（x3y3）在抛物线上，则x32py32x0x3因此x30或x32x0即D0，0或D2x0
22x0p
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