如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以
A（0，0，0），B（3，1，0），C（C，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（3，0，0）（，F
311），22
所以
uuuruuur31AE300AF122
设平面AEF的一法向量为mx1y1z1
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f源头学子小屋
httpwwwxjktygcomwxc
httpwwwwa
gxi
cha
gc

王新敞
uuurmAE0则uuurmAF0
3x10因此31x1y1z1022
取
z11则m021
因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩ACA，所以BD⊥平面AFC，故
uuurBD为平面AFC的一法向量uuurBD（330），
又
uuuruuurmBD2×315uuur所以cos＜mBD＞5mBD5×12
因为二面角EAFC为锐角，
所以所求二面角的余弦值为（21）（本小题满分12分）已知函数fx
155
1al
x1其中
∈Na为常数1x

（Ⅰ）当
2时，求函数fx的极值；（Ⅱ）当a1时，证明：对任意的正整数
当x≥2时，有fx≤x1（Ⅰ）解：由已知得函数fx的定义域为xx＞1，当
2时，fx
1al
x11x2
所以
fx
2a1x21x3
（1）当a＞0时，由fx0得
x11
22＞1，x21＜1，aa
axx1xx21x3
此时
f′（x）
当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0fx单调递减；当x∈（x1∞）时，f′（x）＞0fx单调递增
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（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以fx无极值综上所述，
2时，当a＞0时，fx在x1当a≤0时，fx无极值（Ⅱ）证法一：因为a1所以fx当
为偶数时，令gxx1
22a2处取得极小值，极小值为f11l
aa2a
1l
x11x

1l
x11x
1x2
＞0（x≥2）
1x1x1x1x1
1
则g′（x）1
所以当x∈2∞时，gx单调递增，又g20因此gxx1
1l
x1≥g20恒成立，x1

所以fx≤x1成立当
为奇数时，要证fx≤x1由于
1＜0，所以只需证l
x1≤x11x

令则
hxx1l
x1h′（x）1
1x2≥0（x≥2）x1x1
所以
当x∈2，∞时，hxx1l
x1单调递增，又h21＞0，
所以当x≥2时，恒有hx＞0即l
（x1）＜x1命题成立综上所述，结论成立证法二：当a1时，fx
1l
x11r