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第40课
平面向量的数量积
●考试目标主词填空1定义及运算律两个向量的内积即数量积其结果是一个实数，而不是向量其定义源于物理学中“力所做的功”设a及b是具有共同始点的两个非零向量其夹角θ满足0°≤θ≤180°我们把abcosθ叫做a与b的数量积，记作ab若ax1y1bx2y2则abx1x2y1y2其运算满足“交换律”“结合律”“分配律”以及即abbλbλaa±ba，ab，cac±bc2平面向量数量积的重要性质ab①aaaaacosa2cosθab≤ab当且仅当ab共线时取等号ab
22②设ax1y1bx2y2则ax1y1cosθ
x1x2y1y2
2x1

2y1

2x2

2y2
2222x1x2y1y2≤x1y1x2y2
3两向量垂直的充要条件若ab均为非零向量则a⊥bab0若ax1y1bx2y2则a⊥bx1x2y1y204向量的模及三角不等式a2aa或aaaab≤aba2b2ababa±ba2b22abcosθ为ab夹角ab≤a±b≤ab5三角不等式的推广形式a1a2a
≤a1a2a
●题型示例点津归纳【例1】计算下列各题1已知等边三角形ABC边长为1且BCaCAbABc求abbcca2已知a、b、c是空间中两两垂直的向量且a1b2c3求rabc的长度以及它和abc的夹角3已知a3b与7a5b垂直且a4b与7a2b垂直求a、b的夹角4已知a2b5ab的夹角是2πp3abqλa17b问系数λ取向值时，p⊥q3【解前点津】1利用x2xx通过对abc2的计算得出结论2运用公式及运算律3利用两向量垂直的充要条件4利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义构造关于λ的方程，解之即得
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【规范解答】
1∵abcabc22abbcca32abbcca0
32
2
2
2
abbcca
2cosra
ra∵rr2且ra
r2abc2a2b2c22abbcca142abbcca14∴r14cosra
abca14aa214ab214bc214c1414147314
cosrb
abcb14babcc14c


cosrc


3由条件a3b7a5b7a215b216ab0a4b7a2b7a28b230ab0a2b22abar