利用两点间距离公式处理y＝表示动点Px，0到两定点A－2，－1和B2，2的距离之和当且仅当P、A、B三点共线时取的最小值，为AB＝5已知fx＝ax2＋bx＋c，fx＝x的两根为x1，x2，a＞0，x1－x2＞，若0＜t＜x1，试比较ft与x1的大小解法一：设Fx＝fx－x＝ax2＋b－1x＋c，＝ax－x1x－x2∴fx＝ax－x1x－x2＋x作差：ft－x1＝at－x1t－x2＋t－x1＝t－x1at－x2＋1＝at－x1t－x2＋又t－x2＋＜t－x2－x1－x1＝t－x1＜0∴ft－x1＞0∴ft＞x1解法二：同解法一得fx＝ax－x1x－x2＋x令gx＝ax－x2∵a＞0，gx是增函数，且t＜x1gt＜gx1＝ax1－x2＜－1另一方面：ft＝gtt－x1＋t∴＝at－x2＝gt＜－1∴ft－t＞x1－t∴ft＞x1fx，gx都是定义在R上的函数，当0≤x≤1，0≤y≤1时求证：存在实数x，y，使得
fxy－fx－gy≥证明：正面下手不容易，可用反证法若对任意的实数x，y，都有xy－fx－gy＜记Sx，y＝xy－fx－gy则S0，0＜，S0，1＜，S1，0＜，S1，1＜而S0，0＝－f0－g0S0，1＝－f0－g1S1，0＝－f1－g0S1，1＝1－f1－g1∴S0，0＋S0，1＋S1，0＋S1，1≥S0，0－S0，1－S1，0＋S1，1＝1矛盾！故原命题得证！设a，b，c∈R，x≤1，fx＝ax2＋bx＋c，如果fx≤1，求证：2ax＋b≤4解：本题为1914年匈牙利竞赛试题f⑴＝a＋b＋cf－1＝a－b＋cf0＝c∴a＝f⑴＋f－1－2f0b＝f⑴－f－1c＝f02ax＋b＝f⑴＋f－1－2f0x＋f⑴－f－1＝x＋f⑴＋x－f－1－2xf0≤x＋f⑴＋x－f－1＋2xf0≤x＋＋x－＋2x接下来按x分别在区间－1，－，－，0，0，，，1讨论即可已知函数fx＝x3－x＋c定义在0，1上，x1，x2∈0，1且x1≠x2⑴求证：fx1－fx2＜2x1－x2；⑵求证：fx1－fx2＜1证明：⑴fx1－fx2＝x13－x1＋x23－x2＝x1－x2x12＋x1x2＋x22－1需证明x12＋x1x2＋x22－1＜2………………①x12＋x1x2＋x22＝x1＋≥0∴－1＜x12＋x1x2＋x22－1＜1＋1＋1－1＝2∴①式成立于是原不等式成立⑵不妨设x2＞x1由⑴fx1－fx2＜2x1－x2①若x2－x1∈0，则立即有fx1－fx2＜1成立②若1＞x2－x1＞，则－1＜－x2－x1＜－∴0＜1－x2－x1＜右边变为正数下面我们证明fx1－fx2＜21－x2＋x1
f注意到：f0＝f⑴＝f－1＝cfx1－fx2＝fx1－f⑴＋f0－fx2≤fx1－f⑴＋f0－fx2＜21－x2＋2x2－0由⑴＝21－x2＋x1＜1综合⑴⑵，原命题得证已知fx＝ax2＋x－a－1≤x≤1⑴若a≤1，求证：fx≤⑵若fxmax＝，求a的值解：分析r