不等式与函数性质的综合应用
数学竞赛中我们经常遇到这类不等式：函数fx在ab连续，x1x2x3ab，且x1x2x3为定值，
求或证明fx1fx2fx3的最值。本文将举例给出解决此类问题的方法。首先我们建立以下三个定理。
定理1若连续函数fx在ab上下凸，对任意x0ab，不等式fxfx0xx0fx0
成立；若连续函数fx在ab上上凸，给定的对任意x0ab，不等式fxfx0xx0fx0
成立。定理1的几何意义为：设Mx0，y0为函数fx图像上任意一点，若连续函数fx在ab上下凸，则
除切点外，函数fx的图像一定在点Mx0，y0处的切线如果存在切线上方；若连续函数fx在ab上上凸，则除切点外，函数fx的图像一定在点Mx0，y0处的切线如果存在切线下方。
定理2对任意m
ab，若连续函数fx在ab上下凸，当xm
时，不等式
fxf
fmxmfm成立；若连续函数fx在ab上上凸，当xm
时，不等式
m
fxf
fmxmfm成立。
m
定理2的几何意义为：若连续函数fx在ab上下凸，函数fx的图像夹在点M，N之间的部分在过这两点的弦的下方；若连续函数fx在ab上上凸，函数fx的图像夹在点M，N之间的部分在过这两点的弦的上方。
定理3函数fx在ab上连续，给定的x0ab，若对任意xab，不等式fxfx0xx0fx0成立，则当x1x2ab，且x1x22x0时，fx1fx2≥2fx0成立；若
对任意xab，不等式fxfx0xx0fx0成立，则当x1x2ab，且x1x22x0时，
fx1fx2≤2fx0成立。定理3容易推广到
个变量的情况。
利用函数极限的性质与导数的定义，凸函数的定义不难证明这三个定理，本文从略。定理1，2实质
是“化曲为直”，利用切线或弦估计函数fx的情况。
例1已知abc1abcR，求证：1a221b221c226427
证：记fx1x220x1，则fx4x34xf132，327
1x2232x164271x22321x3x121x3x50而0x1，故上27381
式恒成立。
从而fafbfc32abc16464，等号再abc是成立。
27
2727
例2已知x，y，z是正实数，且xyz1，求证：3x2x3y2y3z2z02003湖南省1x21y21z2
1
f高中数学竞赛试题
证：记fx3x2x（0x1），则fx的导函数为1x2
fx
x26x1，当x1时，f19，
x212
3
310
所以
fx在
x

13
处的切线方程为：
y

910
x

13
，下证：当
0x1
时，不等式
3x21
xx2

9x10
310
事实上，当0x1时，3x12x30成立，故103x2x1x29x3成立，所以当0x1
时r