k2b22a2c222e21，直线l的方程为y1x，
a2
a2
此时a22b2，方程3化为3x24x22b20，16241b283b210
第7页（共54页）
fb3，椭圆C的方程可写成：x22y22b24，又c2a2b2b2，3
右焦点Fb，0，设点F关于直线l的对称点x0，y0，
则
y0

x0

b
1
y02
1
x02
b

x0
1，y0
1b，
又点1，1b在椭圆上，代入4得：121b2b2，b33，43
b29，16
a298
所以所求的椭圆方程为：x2y2199816
【例4】如图，已知△P1OP2的面积为27，P为线段P1P2的一个三等分点，求4
以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为13的双曲线方程2
解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系
设双曲线方程为x2y21a＞0b＞0a2b2
由e2c21b2132，得b3
a2
a
2
a2
yP2
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y3x和y－3x
2
2
设点P1x1
32
x1P2x2－
32
x2x1＞0x2＞0
则由点
P
分
P1P2
所成的比λ
P1PPP2
2
P
o
x
P1
得P点坐标为x12x2x12x2
3
2
又点P在双曲线x24y21上，a29a2
所以x12x22x12x221
9a2
9a2
即x12x22－x1－2x229a2整理得8x1x29a2
①
第8页（共54页）
f又OP1
x12

94
x12

132
x1OP

x22

94
x22

132x2
si

P1OP2
2ta
P1Ox1ta
2P1Ox

21
3
29

1213
4
1
113
1227
SP1OP22OP1OP2si
P1OP224x1x2134
即x1x29
②
2
由①、②得a24b29
故双曲线方程为x2y2149
【例5】过椭圆C：y2x21ab0上一动点P引圆O：x2y2b2的两条切a2b2
线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。1已知P点坐标为x0，y0并且x0y0≠0，试求直线AB方程；2若椭圆的短
轴长为8，并且a2b225，求椭圆C的方程；3椭OM2ON216
圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。解：1设Ax1，y1，Bx2，y2
切线PA：x1xy1yb2，PB：x2xy2yb2
∵P点在切线PA、PB上，∴x1x0y1y0b2x2x0y2y0b2
∴直线AB的方程为x0xy0yb2x0y00
2在直线AB方程中，令y0，则Mb2，0；令x0，则N0，b2
x0
y0
∴
a2
b2

a2

y
20

x02
a2

25
①
OM2ON2b2a2b2b216
∵2b8∴r