两式相减，得x12x22y12y220
2b2
b2
x1x2x1x22y1y2y1y20
又x1x2
4y1y2
2得y1y2x1x2
1
直线AB的方程为y1x2
即yx3
将
y

x

3代入
x22b2

y2b2
1得
3x212x182b20
直线AB与椭圆C2相交24b2720
由AB
2x1x2
2x1x224x1x2
203
得224b27220
3
3
解得b28
故所有椭圆方程x2y21168
【例3】过点1，0的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为2的椭圆2
C相交于A、B两点，直线y1x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦2
点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程
解法一：由ec2得a2b21从而a22b2cb
a2
a2
2
设椭圆方程为x22y22b2Ax1y1Bx2y2在椭圆上
则x122y122b2x222y222b2两式相减得，x12－x222y12－y220y1y2x1x2
x1x22y1y2
设AB中点为x0y0则kAB－x02y0
又x0y0在直线
y
12
x
上，y0
12
x0
于是－x0－1kAB－12y0
y
1
yx
B
2
F2
o
F1
x
A
第6页（共54页）
f设l的方程为y－x1
右焦点b0关于l的对称点设为x′y′
则

yxby2
1
x2
b
1
解得xy
11

b
由点11－b在椭圆上，得121－b22b2b29a29
16
8
∴所求椭圆C的方程为8x216y21l的方程为y－x199
解法二：由ec2得a2b21从而a22b2cb
a2
a2
2
设椭圆C的方程为x22y22b2l的方程为ykx－1
将l的方程代入C的方程，得12k2x2－4k2x2k2－2b20
则
x1x2
1
4k22k
2
y1y2kx1－1kx2－1kx1x2－2k－
1
2k2k
2

直线l：y1x过AB的中点x1x2y1y2则k12k2
2
2
2
12k2212k2
解得k0，或k－1
若k0则l的方程为y0焦点Fc0关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C
上，所以k0舍去，从而k－1，直线l的方程为y－x－1即y－x1以下同解法一
解法3：设椭圆方程为
x2a2

y2b2
1ab01
直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线y1x过AB中点矛盾。2
故可设直线l的方程为ykx12
2代入1消y整理得：k2a2b2x22k2a2xa2k2a2b203
设Ax1，y1
Bx2，y2
，知：x1

x2

k
2k2a22a2b2
又y1y2kx1x22k代入上式得：
k2k1，k2kk2a2b21，kkb21，又e2
x1x22
2k2a22
ka22
2
r