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f线性代数习题集
第三章
【1】
如果向量a1a2as线性无关，而，as，线性相关，则可以由a1，a2as线性表出，而且表示式唯一。
【2】
设a1a2a
是
个
维的线性无关向量，a
1k1a1k2a2k
a
其中k1k2k
全不为零。证明：a1a2a
，a
1中任意
个向量均线性无关。
【3】（95508）设三阶矩阵A满足Aiiii123，其中列向量1122T
2221T3212T试求矩阵A
【4】（97306）设A为
阶非奇异矩阵，为
维列向量，b为常数。记分块矩阵
IPaTA
0A

Q

AT
b

其中
A
是矩阵
A
的伴随矩阵，I
为


阶单位矩阵。
（1）计算并化简PQ
证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是TA1b
【5】（98104）设A是
阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx0有解向量，且Ak10证明：向量组AAk1是线性无关的
【6】（01408）设ii1i2i
Ti12rr
是
维实向量，且12r
11x1
线性无关已知

b1b2b
T
是线性方程组

21
x1


r1x1
12x222x2

1
x
02
x
0
r2x2r
x
0
的非零解向量试判断向量组12r得线性相关性。
【7】（96408）设向量12i是齐次线性方程组AX0的一个基础解系，向量不是
方程组AX0的解，即A0试证明：向量组12i线性无关
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【8】（04313）设1120T2123T31b22bT133T，试讨论b为何值时，1不能由123线性表示2可以由123唯一地线性表示，并求出表示式。3可以由123线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。
答案与提示：
1当0时，不能由123线性表示。
2当0，且ab时，可以由123唯一地线性表示。
当ab0时可以由123线性表示，但表示式不唯一，其表示式为


1
1a
1


1a

k

2

ka3

【9】（05290）确定常数，使向量组111T21a1T3a11T可由向量
组111aT22a4T32aaT线性表示，1时向量组123不能
由向量组123线性表示。
【10】（00303）设A为
阶实矩阵AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组IAx0和ATAx0，必有（）。A的解是I的解，I的解也是的解B的解是I的解，但I的解不是的解CI的解不是的解，的解也不是的解DI的解是的解，但的解也不是I的解【11】（98407）已知下列非齐次线性方程组I，
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I4xx11

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