《振动力学》习题集（含答案）
11质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E11所示。求系统的固有频率。
图E11
解：系统的动能为：
T1mxl21Ix2
2
2
其中I为杆关于铰点的转动惯量：
则有：
I
l
m1
dxx2

0l
l0
m1l
x2dx

13m1l2
系统的势能为：
T

12
ml2x2

16
m1l2x2

13m
6

m1l2x2
U

mgl1
cosx
m1g

l2
1
cosx

12
mglx2

14
m1glx2

14
2m

m1glx2
利用x
x和TU可得：


32mm1g23mm1l
12质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CAa的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E12所示。求系统的固有频率。
f图E12
解：
如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
T

12
IB2

12
mR2

12
mR2
2

34
mR22
利用
和TU可得：
U21kRa2kRa22
2


4kRa2
3mR2

RaR
4k3m
f13
转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为k1，k2和k3的轴约束，如图E13所示。求系统的固有频率。
J
k1
k2
k3
图E13
解：系统的动能为：
T1J22
k2和k3相当于串联，则有：
以上两式联立可得：
23k22k33
系统的势能为：
2

k3k2k3


3

k2k2
k3

U

12
k1
2

12
k222

12
k332

12

k1k2

k2
k3
k3
k2k3

2
利用
和TU可得：


k2k3k1k2k3Jk2k3
14在图E14所示的系统中，已知kii123ma和b，横杆质量不计。求固有频率。
解：
k1a
图E14
k2bk3m
x1
a
x0b
x2
F1

a
b
b
mg
x
mg
F2

a
a
b
mg
答案图E14
f对m进行受力分析可得：如图可得：
mg

k3x3
，即
x3

mgk3
x1
F1k1

mgb
abk1

x2

F2k2

mga
abk2
x0

x1

x

x1

ax2x1
ab

a2k1b2k2
ab2k1k2
mg
则等效弹簧刚度为：
x

x0

x3


a2k1b2k2
ab2k1k2

1k3
mg

1k0
mg
则固有频率为：
ke

a2k1k3
ab2k1k2k3b2k2k3a
b2k1k2


kem
k1k2k3ab2mk1k2ab2k3k1a2k2b2
17
质量m1在倾角为的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量m2，如图E17所示。确定系统由此产生的自
由振动。
m1
x12
m2
h
k

x2
x0
x
图E17
解：
对m1由能量守恒可得（其中v1的方向为沿斜面向下）：
m1gh

12
m1v12
，即v1

2gh
对整个系统由动量守恒可得：
m1v1
m1m2
v0
，即v0

m1m1m2
2gh
令m2引起的静变形为x2，则有：
m2g
si


kx2，即
x2

m2gsi
k
令m1m2引起的静变形为x12，同理有：
x12

m1

m2g
k
si

得：
x0

x12

x2

m1gsi
k
答案图E17
f则系统的自由振动可表示为：其中系统的固有频率为：
x

x0
cos
t

x0

si

t


km1m2
注意到v0与x方向相r