12
253220
48

476735201155
（4）26
98
23294
86

。
164281128452
答案：（1）r（A）2；（2）r（A）2；（3）r（A）3；（4）r（A）2；
【18】求下列矩阵的标准形
10100
1（1）2
12
24
12
00
；（2）
10
11
01
00
00。
3061103001
0011001011
10000
1答案：（1）0
01
00
00
00
；（2）
00
10
01
00
00。
0010000000
0001000001
【19】假设方阵A满足方程aA2bAcE0，其中a，b，c是常数，而且C≠0，试证A是满
秩方阵，并求出其逆矩阵。
【20】选择题
123（1）设矩阵A368，且r（A）2，则t等于
24t
A、6；B、6；C、8；D、t为任何实数。
（2）设A是3阶方阵，若A20，下列等式必成立的是
A、A0；B、r（A）2；C、A30；D、A0
（3）设A是m×
矩阵，且m
，则必有
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f线性代数习题集
A、ATA0；B、ATA0；C、ATA0；D、ATA0。
答案：（1）D；（2）C；（3）B。
【21】求下列矩阵的逆矩阵：
0012
2100
（1）A0
0
2
0
；（2）
A


3
2
0
0

。
2100
311934
1300
2314
2
3


0

答案：（1）
A1


0

1
3
0
023
3515
0
1525
0

；（3）
1

2
3
12
1211
0032
0
0。43

2
1
0
0
33

【22】假设
B
是


阶可逆矩阵，C
是
m
阶可逆方阵。试证明分块矩阵
A

B

0
0C

是可逆方阵，
并且用B1C1表示分块矩阵A1。
答案：提示：由拉普拉斯展开定理，得A、BC0，故A是可逆矩阵。由逆矩阵定义，
得
A

B1

0
0C1

。
【23】已知三阶方阵A（aij）与任意三阶方阵B之积可交换：ABBA，证明A是数量矩阵。
【24】设4阶矩阵
01002134
B0
0
1
0

C
0
2
1
3
00010021
00
0
0

0002
且矩阵A满足等式AEC1BTCTEA。其中E为4阶单位矩阵，求矩阵A。
于是ACBET1
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f线性代数习题集
【25】（00403）设a101T，矩阵AT，
为正整数，则detaEA

【26】（04404）
010
设A


1
0
0，BP1AP，其中P为三阶可逆矩阵，则B20042A2
。

0
0
1
【27】（04404）设Aaij3X3是实正交矩阵，且a111，b100T，则线性方程组Axb
得解是
。
【28】（04104）
210
设矩阵A


1
2
0，矩阵B满足ABA2BAE，其中A为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B
001
。
【29】（00203）设
1000


2
A
00
340
056
700E为4阶段单位矩阵，且BEA1EA则（EB）1

【30】（94503）设AB都是
阶非零矩阵，且AB0则A和B得秩（）
A必须有一个等于零
B都小于

C一个小于
，一个等于
D都等于
r