si

si

cos



。当

2
时，
cossi

si
cos


01
10
。
故
01
14cos20si
2
si
2cos2


10
01
【8】已知A，B是
阶对称矩阵，证明AB为对称矩阵的充分必要条件是ABBA。
【9】已知A是一个
阶对称矩阵，B是一个
阶反对称矩阵，证明
（1）A2，B2都是对称矩阵；（2）ABBA是对称矩阵；（3）ABBA是反对称矩阵。
【10】求矩阵X，已知：
211230123
（1）

3
21X1
0
1


4
56；
101
211312
（2）
3
21
43
7
6
1X0
109
20
3

第11页共35页
f线性代数习题集
142
答案：（1）X00
42
32
；（2）
X

03
20
10
【11】已知矩阵A，求A的逆矩阵A1
021
1
A

ac
bd

其中
adbc1；（2）
A


1
1
11
2

；
1
1357
（3）A0123；0012
000
1

答案：（1）
A1

dc
b
a

；（2）
A1


12
1
2

0
32121

52

1；
2
1



131138
（3）A1012
7

0012
000
1

【12】在下列矩阵方程中求矩阵X：
（1）
X

13
24

35
59
；
123130（2）224X1027；
2101078
3
答案：（1）
X


2
7
2
1

3
2

1
；（2）
X

16
2
12

2

52

1113
7

19

2
【13】证明若一个对称矩阵可逆，则它的矩阵也对称。
【14】假设方阵A满足矩阵方程A22A5E0，证明A可逆，并求A1。
第12页共35页
f线性代数习题集
答案：提示：由A22A5E0得A15（A2E）E。
【15】填空题
213（1）设矩阵A051，则A3E1A29E_________
123
（2）设A是3阶数量矩阵，且A27，则A1_________
（3）设A是4阶方阵，且A2，则A的伴随矩阵A的
行列式A_________
513

13

答案：（1）0
8
1
；（2）

126


13
；

1


3
（3）8
【16】选择题
（1）设A是
阶方阵，且满足等式A2A2E0，则A的逆矩阵是
（A）AE；（B）EA；（C）1AE；（D）1EA。
2
2
（2）设A，B是
阶可逆矩阵，则下列等式成立的是
A、AB111；B、AB1A1B1A1B1
C、AB1AB；D、AB11
AB
（3）设A，B，C为
阶方阵，且ABCE，则必成立的等式为A、ACBEB、CBAEC、BACED、BCAE
（4）设A，B为
阶对称矩阵，m为大于1的自然数，则必为对称矩阵的是
A、Am；B、ABm；C、ABD、AB1。
（5）设A，B，AB，A1B1均为
阶可逆矩阵，则（A1B1）等于
第13页共35页
f线性代数习题集
A、A1B1；B、AB；C、BAB1A；D、AB1。
（1）C；（2）B；（3）D；（4）A；（5）C
【17】求下列矩阵的秩
1（1）1
22
34
45
；（3）
257575
319494
175354
43132134
110r