j
si
ij
i

2
si

ij2
【19】利用拉普拉斯定理计算下列行列式：
110001
x1x2000x3（2）a1b1111c1；
a2b2x1x2x3c2a3b3x12x22x32c1x12x22000x
a1
（3）a2

a1
1b1a2
1b2
a1
b
11
a2b2
1
b1
b2
ai0i12

1；
aab

1

1

1

abb
1
1
1
1
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faa
线性代数习题集
bb
（4）
ab
ba
b
a
b
a
b
a
答案与提示：
（2）x2x12x3x22x3x22；（3）
bjajaibj
1ji
1
（4）a2b2

【20】证明下列等式：
0
1
（1）0
1
00
00
0
0
1
1；

0
0
0
1
cos0
（2）0
12cos
1
012cos
000000cos
。
0
0
0
12cos
答案与提示：
（1）提示：将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。
（2）提示：用归纳法证。
【21】
3040
（01403）设行列式D2222，则第四行各元素余子式之和的值为（
）
0700
5322
【22】（96503）五阶行列式
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f线性代数习题集
1aa000
11aa00
d011aa0

0011aa
00
011a
第9页共35页
f线性代数习题集
第二章
【1】填空题设A是三阶方阵，A是A的伴随矩阵，A的行列式A1，则行列式2
3A12A___________。
【2】假设A（aij）是一个
阶非零矩阵，且A的元素aij（i，j1，2，，
）均为实数。已知每一个元素aij都等于它自己的代数余子式，求证A的秩等于
，且当
3时A1或1。
【3】判断下列结论是否成立：若成立，则说明理由；若不成立，则举出反例。
（1）若矩阵A的行列式A0，则A0；
（2）若AE0，则AE；
（3）若A，B为两个
阶矩阵，则ABAB；（4）若矩阵A0，B0，则AB0
【4】设A，B为
阶方阵，问下列等式在什么条件下成立？
（1）AB2A22ABB2；
（2）ABABA2B2；
【5】计算AB和ABBA。已知
311
111
（1）A2
1
2，B2
1
0

123
101
abc
1ac
（2）
A


c
b
a，B1
b
b

。
111
1ca
622
222
答案：（1）AB61
0

，
AB

BA

2
0
0

；
812
442
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f线性代数习题集
abc（2）ABabc
3
a2b2c22acb2abc
2acb2
a2

b2

c2

，
abc
bac
AB

BA


cbc
3c22a
a2b2c2babc2ac2bcbc
b22aca22c
a
2

b2

c2

ab

b

c

；
bac

【6】计算下列矩阵乘积：
11111
abdx
（1）

2
0
1

0
1

；（2）（x，y，1）

b
c
e


y

。
31210
def1
2答案：（1）3
1
02；（2）ax22bxycy22dx2eyf。4
【7】计算
cossi

si
cos



，并利用所得结果求

01
10
4
。
答案：提示：用数学归纳法可证
cossi

si
cos

cos


r