0

；（4）223
2；
123


222
3
12
（5）
2334

1
。

1
1

2

12

1
答案：（1）1
1
1

2
0

为奇数
；（2）1；（3）
！
为偶数

（
1）
（4）2
1；（5）（1）2

1


1
。
2
【10】计算下列行列式：
a1b1a2b1（1）a3b1
a1b2a2b2a3b2
ab0
a1b

0ab
a2b

00a
a3b
；（2）
000000
（
阶）；
a
b1a
b2
aa0
（3）
ahaa
a2h0a
a
b

000b00
a
1ha
h
0
0
0
0
；
ab0a
000
a
0
000
a
a
a1a10
0a2a2
0
（4）
0a3
000000
。
000111
a
a
11
答案：（1）
2时，行列式等于（b2b1a2a1；
≥3，行列式为0；
（2）a
1
1b
；（3）1
12a
ha
；2
第4页共35页
f线性代数习题集

（4）1
1aii1
【11】计算
1阶行列式：
0111a1010a2
100（ai0；i1，2，
）
100
a

答案：a1a2

1a
ai1ia0i12


【12】解下列线性方程组：
（1）
x1x2x3x45

x1

2x2

x3

4x4

2
2x13x2x35x42
3x1x22x311x40
；（2）
x14x26x34x45x50
4x1x1x2x24
x3x3

6x44x4

5x56x5

00
6x14x2x3x44x50
4x16x24x3x4x50
。
答案：（1）x11x22x33x41；
2x1x2x3x4x50
【13】计算
阶行列式
ax1a
a
a
aax2a
a
Da
aax3
a
a
a
a
a
于是D
ax1x2

1x


1x

1


1x1

1a

【14】证明
2cos10
D

12cos
1
012cos
0
0
0
0
0
0
000
2cos1
00
0si
1
si
12cos
第5页共35页
f由归纳假设，得
D
si
1
si

线性代数习题集
【15】计算五阶行列式
x1a2a3a4a5a1x2a3a4a5Da1a2x3a4a5a1a2a3x4a5a1a2a3a4x5
x1a2a3a1x2a3可以得到a1a2x3
a

a
a

1
i1
xi
ai
ai



i1
xiai
a1a2a3
x

【16】证明
1a11
D
1
11a2
1
111a3
1
1
1
a1a2
a

1

i1
1ai

111
证明：略
1a

【17】证明
ddt
a11ta21t
a31t
a12ta22ta32t
a13ta11ta23ta21ta33ta31t
a
12
t

a22t
a32t
a13ta23ta33t
a11t
a
21
t

a31t
a12ta22ta32t
a13ta11t
a
23
t


a21t
a33t
a
31
t

a12ta22ta32t
a13t
a23t
a
33
t

答案与提示：
提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。
第6页共35页
f线性代数习题集
【18】计算
阶行列式：
11（1）1
si
1si
2si
3
si
21si
22si
23
si
11si
12si
13；
1si

cos
11（2）cos
12
si
2
cos
21cos
22
si
1
cos11cos21。
cos
1
cos
2
答案与提示：
cos
1
（1）1j

1
si
isi
j22
i

1j
cosij
i

2
si

ij2

（
1）
（2）（1）2
1j

1
cosicosj22
i

1r