题一般住现
在第一问，但2019年高考3卷把该题放到第20题位置，难度也相应降低，因此，该题的第
二问仍然这类问题，只不过多出一个参数。本题求导后是含参的二次函数，含参二次函数的
分类讨论是最基本的能力，根据参数位置的不同可分为以下几个层次来讨论，例如参数在二
次项系数位置，第一层次：是否为二次函数；第二层次：抛物线开口方向；第三层次：抛物
线与x轴有多少个交点；第四各层次：两个交点横坐标大小关系。通过对这类问题的反复练
习来提高学生分类讨论能力。
二、函数零点问题
1（2015年1卷21题）已知函数f（x）x3ax1gxl
x4
（1）当a为何值时，x轴为曲线yfx的切线；
（2）用mi
m
表示m
中的最小值，设函数hxmi
fxgxx0，
讨论h（x）零点的个数
【解析】（1）设曲线yfx与x轴相切于点x00，则fx00，fx00，即

x03

ax0

14
3x02a0
0，解得x0

1a2

34
因此，当a

34
时，x轴是曲线
y

f
x的切线
f（2）当x1时，gxl
x0，从而hxmi
fxgxgx0，
∴hx在（1，∞）无零点
当x1时，若a5，则f1a50，h1mi
f1g1g10故x1是
4
4
hx的零点；若a5，则f1a50，h1mi
f1g1f10故x1
4
4
不是hx的零点
当x01时，gxl
x0，所以只需考虑fx在（01）的零点个数
（）若a3或a0，则fx3x2a在（01）无零点，故fx在（01）单调，而
f01，f1a5，所以当a3时，fx在（0，1）有一个零点；当a0时，fx
4
4
在（0，1）无零点
（）若3a0，则fx在（0，a）单调递减，在（a，1）单调递增，故当
3
3
xa时，fx取的最小值，最小值为fa2aa1
3
3334
①若fa＞0，即3＜a＜0，fx在（01）无零点
3
4
②若fa0，即a3，则fx在（01）有唯一零点；
3
4
③若fa＜0，即3a3，由于f01，f1a5，所以当5a3
3
4
4
4
4
4
时，fx在（01）有两个零点；当3a5时，fx在（01）有一个零点…10分4
综上，当a3或a5时，hx由一个零点；当a3或a5时，hx有两个
4
4
4
4
零点；当5a3时，hx有三个零点
4
4
2（2r