全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析（含答案）（2015年2019年，14套）
一、函数单调性与最值问题
1（2019年3卷20题）已知函数fx2x3ax2b
（1）讨论fx的单调性；
（2）是否存在ab，使得fx在区间01的最小值为1且最大值为1？若存在，求出ab
的所有值；若不存在，说明理由
【解析】1对fx2x3ax2b求导得fx6x22ax6xxa所以有3
当a0时，a区间上单调递增，a0区间上单调递减，0区间上单调递增；
3
3
当a0时，区间上单调递增；
当a0时，0区间上单调递增，0a区间上单调递减，a区间上单调递增
3
3
2若fx在区间01有最大值1和最小值1，所以，若a0，a区间上单调递增，3
a0区间上单调递减，0区间上单调递增；3
此时在区间01上单调递增，所以f01，f11代入解得b1，a0，与a0
矛盾，所以a0不成立
若a0，区间上单调递增；在区间01所以f01，f11代入解得
a0
b


1
若0a2，0区间上单调递增，0a区间上单调递减，a区间上单调递增
3
3
即fx在区间0a单调递减，在区间a1单调递增，所以区间01上最小值为fa
3
3
3
而f0bf12abf0，故所以区间01上最大值为f1
即
2a33

aa23

b

1
相减得
2

a

a3
2，即aa3
3a3
30，又因为
2ab1
27
0a2，所以无解
f若2a3，0区间上单调递增，0a区间上单调递减，a区间上单调递增
3
3
即fx在区间0a单调递减，在区间a1单调递增，所以区间01上最小值为fa
3
3
3
而f0bf12abf0，故所以区间01上最大值为f0
即
2
a3
3

a
a3
2

b

1
相减得
a3
2，解得x33
2，又因为2a3，所以无解
b1
27
若a3，0区间上单调递增，0a区间上单调递减，a区间上单调递增
3
3
所以有fx区间01上单调递减，所以区间01上最大值为f0，最小值为f1
b1
a4
a0a4
即
2

a

b

1
解得
b

1
综上得
b

或
1
b

1

【小结】这是一道常规的利用函数导研究函数单调性、极值、最值问题，此类问r